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2.2.2向量减法运算及其几何意义课时目标1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA→－OB→＝________.一、选择题1.在如图四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→等于()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c2．化简OP→－QP→＋PS→＋SP→的结果等于()A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→4．在平行四边形ABCD中，|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则有()A.AD→＝0B.AB→＝0或AD→＝0C．ABCD是矩形D．ABCD是菱形5．若|AB→|＝5，|AC→|＝8，则|BC→|的取值范围是()A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)6．边长为1的正三角形ABC中，|AB→－BC→|的值为()A．1B．2C.32D.3题号123456答案二、填空题7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA→－BC→－OA→＋OD→＋DA→＝________.8．化简(AB→－CD→)－(AC→－BD→)的结果是________．9.如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则OD→＝____________(用a，b，c表示)．10．已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.三、解答题11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB→＝a，DA→＝b，OC→＝c，求证：b＋c－a＝OA→.12.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.能力提升13．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，先用a，b表示向量AC→和DB→，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH→＝OA→＋OB→＋OC→.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB→＝BA→就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB→＝a、AD→＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a，DB→＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2向量减法运算及其几何意义答案知识梳理(1)相反向量(2)BA→(3)始点终点BA→作业设计1．A2.B3.B4．C[AB→＋AD→与AB→－AD→分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，∴ABCD是矩形．]5．C[∵|BC→|＝|AC→－AB→|且||AC→|－|AB→||≤|AC→－AB→|≤|AC→|＋|AB→|.∴3≤|AC→－AB→|≤13.∴3≤|BC→|≤13.]6．D[如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则AB→－BC→＝AB→＋CB→＝AB→＋BD→＝AD→.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝3，∴|AB→－BC→|＝3.]7.CA→8．0解析方法一(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.方法二(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.9．a－b＋c解析OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋BC→＝OA→＋OC→－OB→＝a＋c－b＝a－b＋c.10．4解析如图所示．设OA→＝a，OB→＝b，则|BA→|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC→|＝|a＋b|.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42.故|OA→|2＋|OB→|2＝|BA→|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC→|＝|BA→|＝4，即|a＋b|＝4.11．证明方法一∵b＋c＝DA→＋OC→＝OC→＋CB→＝OB→，OA→＋a＝OA→＋AB→＝OB→，∴b＋c＝OA→＋a，即b＋c－a＝OA→.方法二∵c－a＝OC→－AB→＝OC→－DC→＝OD→，OD→＝OA→＋AD→＝OA→－b，∴c－a＝OA→－b，即b＋c－a＝OA→.12．解(1)由已知得a＋b＝AB→＋BC→＝AC→，又AC→＝c，∴延长AC到E，使|CE→|＝|AC→|.则a＋b＋c＝AE→，且|AE→|＝22.∴|a＋b＋c|＝22.(2)作BF→＝AC→，连接CF，则DB→＋BF→＝DF→，而DB→＝AB→－AD→＝a－BC→＝a－b，∴a－b＋c＝DB→＋BF→＝DF→且|DF→|＝2.∴|a－b＋c|＝2.13．解由向量加法的平行四边形法则，得AC→＝a＋b，DB→＝AB→－AD→＝a－b.则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．14．证明作直径BD，连接DA、DC，则OB→＝－OD→，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.∴CH∥DA，AH∥DC，故四边形AHCD是平行四边形．∴AH→＝DC→，又DC→＝OC→－OD→＝OC→＋OB→，∴OH→＝OA→＋AH→＝OA→＋DC→＝OA→＋OB→＋OC→.