高中数学人教A版必修四课时训练31两角和与差的正弦余弦和正切公式311Word版含答

第三章三角恒等变换§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式课时目标1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．一、选择题1．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝()A．－12B.12C．0D．12．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得()A．cosαB．cosβC．cos(2α＋β)D．sin(2α＋β)3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得()A.12B．－12C.32D．－324．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α、β均为锐角且αβ，则α＋β的值为()A.π6B.π4C.3π4D.5π65．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sinπ2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是()A．－55B.55C.11525D.56．若sinα＋sinβ＝1－32，cosα＋cosβ＝12，则cos(α－β)的值为()A.12B．－32C.34D．1题号123456答案二、填空题7．cos15°的值是________．8．若cos(α－β)＝13，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tanα＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cosβ的值．12．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2α－βπ，3π2α＋β2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2απ，0βπ2，求cosα＋β2的值．14．已知α、β、γ∈0，π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式答案知识梳理cosαcosβ＋sinαsinβ作业设计1．C2.B3．A[原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.]4．C[sin(α－β)＝－255(－π2α－β0)．sin2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010·55＋31010·－255＝－22，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.]5．B[∵sin(π＋θ)＝－35，∴sinθ＝35，θ是第二象限角，∴cosθ＝－45.∵sinπ2＋φ＝－255，∴cosφ＝－255，φ是第三象限角，∴sinφ＝－55.∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝－45×－255＋35×－55＝55.]6．B[由题意知sinα＋sinβ＝1－32①cosα＋cosβ＝12②①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.]7.2＋648.83解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝83.9．－12解析由sinα＋sinβ＝－sinγ①cosα＋cosβ＝－cosγ②①2＋②2⇒2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1⇒cos(α－β)＝－12.10．－π4解析∵α、β∈0，π2，∴cosα＝255，sinβ＝31010，∵sinαsinβ，∴α－β∈－π2，0.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255·1010＋55·31010＝22，∴α－β＝－π4.11．解∵α∈0，π2，tanα＝43，∴sinα＝437，cosα＝17.∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝5314.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.12．解∵π2α－βπ，cos(α－β)＝－45，∴sin(α－β)＝35.∵32πα＋β2π，sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45.∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×－45＋－35×35＝－1.∵π2α－βπ，32πα＋β2π，∴π22β3π2，∴2β＝π，∴β＝π2.13．解∵π2απ，∴π4α2π2.∵0βπ2，∴－π2－β0，－π4－β20.∴π4α－β2π，－π4α2－βπ2.又cos(α－β2)＝－190，sin(α2－β)＝230，∴π2α－β2π，0α2－βπ2.∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝459.cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527.14．解由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12，∴β－α＝±π3.∵sinγ＝sinβ－sinα0，∴βα，∴β－α＝π3.