高中数学人教A版必修四课时训练31两角和与差的正弦余弦和正切公式312Word版含答

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时目标1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.(2)T(α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.2．两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝____________________________________________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝____________.tanα·tanβ＝______________________________________________________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝______________________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝____________.tanαtanβ＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈π2，π，sinα＝35，则tanα＋π4的值等于()A.17B．7C．－17D．－72．若sinα＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tanβ的值是()A.43B．－43C．－7D．－173．已知tanα＝12，tanβ＝13，0απ2，πβ3π2，则α＋β的值是()A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．无法确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于()A．1B．2C．tan10°D.3tan20°6．在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.53题号123456答案二、填空题7.1＋tan75°1－tan75°＝________.8．已知tanπ4＋α＝2，则12sinαcosα＋cos2α的值为________．9．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0两根，则sinα＋βcosα－β＝________.10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15.(1)求证：tanA＝2tanB；(2)设AB＝3，求AB边上的高．1．公式T(α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等．要特别注意tan(π4＋α)＝1＋tanα1－tanα，tan(π4－α)＝1－tanα1＋tanα.3．公式T(α±β)的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tanα＋tanβ1－tanαtanβ(2)tanα－tanβ1＋tanαtanβ2．(1)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α＋β)1－tanα＋tanβtanα＋β(2)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α－β)tanα－tanβtanα－β－1作业设计1．A2.C3.C4．A[tanA＋tanB＝53，tanA·tanB＝13，∴tan(A＋B)＝52，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－52，∴C为钝角．]5．A[原式＝tan10°tan20°＋3tan20°＋3tan10°＝3(tan10°＋tan20°＋33tan10°tan20°)＝3tan30°＝1.]6．B[tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝3，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，即2331－tanAtanB＝3，解得tanA·tanB＝13.]7．－38.23解析∵tanπ4＋α＝2，∴1＋tanα1－tanα＝2，解得tanα＝13.∴12sinαcosα＋cos2α＝sin2α＋cos2α2sinαcosα＋cos2α＝tan2α＋12tanα＋1＝19＋123＋1＝23.9．－32解析sinα＋βcosα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝31＋－3＝－32.10．1解析tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝1－tanα1＋tanα.∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα.∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1.∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，∴tan(α＋β)＝1.11．解由tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，得tanB＋tanC＝3(1－tanBtanC)．∴tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝3，又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝π3.又3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，∴tanA＋tanB＝－33(1－tanAtanB)，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33，而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝5π6，又∵A＋B＋C＝π，∴A＝2π3，B＝C＝π6.∴△ABC为等腰三角形．12．解由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.因此tanα＝sinαcosα＝7，tanβ＝sinβcosβ＝12.tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3.13．解tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝130.而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)．∵tanβ＝－17，0βπ，∴π2βπ.∴－πα－β0.而tan(α－β)＝120，∴－πα－β－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝1，∴2α－β＝－3π4.14．(1)证明∵sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15，∴sinAcosB＋cosAsinB＝35sinAcosB－cosAsinB＝15⇒sinAcosB＝25cosAsinB＝15⇒tanAtanB＝2，所以tanA＝2tanB.(2)解∵π2A＋Bπ，sin(A＋B)＝35，∴tan(A＋B)＝－34，即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－34.将tanA＝2tanB代入上式并整理得，2tan2B－4tanB－1＝0.解得tanB＝2±62，舍去负值，得tanB＝2＋62.∴tanA＝2tanB＝2＋6.设AB边上的高为CD.则AB＝AD＋DB＝CDtanA＋CDtanB＝3CD2＋6.由AB＝3，得CD＝2＋6.∴AB边上的高等于2＋6.