高中数学人教A版必修四课时训练31两角和与差的正弦余弦和正切公式313Word版含答

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα，sinα2cosα2＝12sinα；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.2．倍角公式常用变形(1)sin2α2sinα＝__________，sin2α2cosα＝__________；(2)(sinα±cosα)2＝__________；(3)sin2α＝______________，cos2α＝______________.一、选择题1．计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.322．函数y＝2cos2(x－π4)－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为()A．－13B．－79C.13D.794．若1－tanθ2＋tanθ＝1，则cos2θ1＋sin2θ的值为()A．3B．－3C．－2D．－125．如果|cosθ|＝15，5π2θ3π，则sinθ2的值是()A．－105B.105C．－155D.1556．已知角α在第一象限且cosα＝35，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2等于()A.25B.75C.145D．－25题号123456答案二、填空题7.3－sin70°2－cos210°的值是________．8．函数f(x)＝cosx－sin2x－cos2x＋74的最大值是______．9．已知tanθ2＝3，则1－cosθ＋sinθ1＋cosθ＋sinθ＝______.10．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则α＝________.三、解答题11．求证：3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.12．若cosπ4－x＝－45，5π4x7π4，求sin2x－2sin2x1＋tanx的值．能力提升13．求值：cos20°cos40°cos80°.14．求值：tan70°·cos10°·(3tan20°－1)．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2·α2n＋1(n∈N*)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos2α2，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos2α2.3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式答案知识梳理2．(1)cosαsinα(2)1±sin2α(3)1－cos2α21＋cos2α2作业设计1．B2.A3．B[cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin2(π6－α)]＝2sin2(π6－α)－1＝－79.]4．A[∵1－tanθ2＋tanθ＝1，∴tanθ＝－12.∴cos2θ1＋sin2θ＝cos2θ－sin2θsinθ＋cosθ2＝cosθ－sinθcosθ＋sinθ＝1－tanθ1＋tanθ＝1－－121＋－12＝3.]5．C[∵5π2θ3π，|cosθ|＝15，∴cosθ0，cosθ＝－15.∵5π4θ232π，∴sinθ20.由sin2θ2＝1－cosθ2＝35，∴sinθ2＝－155.]6．C[∵cosα＝35且α在第一象限，∴sinα＝45.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝2425，原式＝1＋2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝145.]7．2解析3－sin70°2－cos210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2.8．2解析f(x)＝cosx－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋74＝－cos2x＋cosx＋74＝－cosx－122＋2.∴当cosx＝12时，f(x)max＝2.9．3解析1－cosθ＋sinθ1＋cosθ＋sinθ＝2sin2θ2＋2sinθ2cosθ22cos2θ2＋2sinθ2cosθ2＝2sinθ2sinθ2＋cosθ22cosθ2cosθ2＋sinθ2＝tanθ2＝3.10.π6解析∵sin22α＋sin2αcosα－(cos2α＋1)＝0.∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0.∵α∈(0，π2)．∴2cos2α0.∴2sin2α＋sinα－1＝0.∴sinα＝12(sinα＝－1舍)．∴α＝π6.11．证明∵左边＝3－4cos2A＋2cos22A－13＋4cos2A＋2cos22A－1＝1－cos2A1＋cos2A2＝2sin2A2cos2A2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边．∴3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.12．解sin2x－2sin2x1＋tanx＝2sinxcosx－sinxcosxcosx＋sinx＝sin2xcosx－sinxcosx＋sinx＝sin2x1－tanx1＋tanx＝sin2xtanπ4－x＝cosπ2－2xtanπ4－x＝2cos2π4－x－1tanπ4－x，∵5π4x7π4，∴－3π2π4－x－π.又∵cosπ4－x＝－45，∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34.∴原式＝2×1625－1×－34＝－21100.13．解原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.14．解原式＝sin70°cos70°·cos10°3sin20°cos20°－1＝sin70°cos70°·cos10°·3sin20°－cos20°cos20°＝cos20°sin20°·cos10°·232sin20°－12cos20°cos20°＝2cos10°·sin－10°sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.