高中数学人教A版选修11学业分层测评14导数的几何意义Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知函数y＝f(x)的图象如图3－1－6，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()图3－1－6A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定【解析】f′(A)与f′(B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(A)f′(B)．【答案】B2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交【解析】f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．【答案】B3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是()A．(0,0)B．(2,4)C.14，116D.12，14【解析】∵y＝x2，∴k＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，∴2x＝tanπ4＝1，∴x＝12，则y＝14.【答案】D4．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－12x＋1垂直，则过点P处的切线方程为()A．2x－y－1＝0B．2x－y－2＝0C．x＋2y＋2＝0D．2x－y＋1＝0【解析】与直线y＝－12x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.由y＝x2知，y′＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.所以过P(1,1)且与直线y＝－12x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.【答案】A5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8)D.－12，－18【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0x0＋Δx3－x30Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x20＋3x0·Δx]＝3x20.∵k＝3，∴3x20＝3.∴x0＝1或x0＝－1，∴y0＝1或y0＝－1.∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．【答案】B二、填空题6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．【解析】因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.【答案】37．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________.【导学号：26160074】【解析】设切点P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.y′|x＝x0＝4x0，由4x0＝4，y0＝2x20＋1⇒x0＝1，y0＝3，即P(1,3)．又P(1,3)在直线4x－y＋m＝0上，故4×1－3＋m＝0，∴m＝－1.【答案】－18．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________.【解析】由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.【答案】－1三、解答题9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．【解】曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝limΔx→031＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.10．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．【解】y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.[能力提升]1．设f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f1－f1－2x2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为()A．1B．－1C．2D．－2【解析】令x→0，则2x→0，所以limΔx→0f1－f1－2x2x＝limΔx→0f1－f1－ΔxΔx＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1.【答案】B2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3－1－7所示，则该函数的图象是()图3－1－7【解析】由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．【答案】B3．如图3－1－8是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.图3－1－8【解析】由题图可知切线方程为y＝－98x＋92，所以f(2)＝94，f′(2)＝－98，所以f(2)＋f′(2)＝98.【答案】984．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：26160075】【解】由ΔyΔx＝x＋Δx2＋1－x2＋1Δx＝2x＋Δx，得y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式得所求切线方程为：y－y0＝2x0(x－x0)．又因为切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，所以a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，即x20－2x0＋a－1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)0，解得a2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．