学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列结论不正确的是()A.若y=3,则y′=0B.若f(x)=3x+1,则f′(1)=3C.若y=-x+x,则y′=-12x+1D.若y=sinx+cosx,则y′=cosx+sinx【解析】∵y=sinx+cosx,∴y′=(sinx)′+(cosx)′=cosx-sinx.故选D.【答案】D2.函数y=(x+1)(x-1)的导数等于()A.1B.-12xC.12xD.-14x【解析】因为y=(x+1)(x-1)=x-1,所以y′=x′-1′=1.【答案】A3.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x+2【解析】∵y′=x′x+2-xx+2′x+22=2x+22,∴k=y′|x=-1=2-1+22=2,∴切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.故选A.【答案】A4.已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.12【解析】因为y′=x2-3x,所以由导数的几何意义可知,x2-3x=12,解得x=3(x=-2不合题意,舍去).【答案】A5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有()A.1条B.2条C.3条D.不确定【解析】∵f′(x)=3x2,设切点为(x0,y0),则3x20=1,得x0=±33,即在点33,39和点-33,-39处有斜率为1的切线.故选B.【答案】B二、填空题6.已知f(x)=52x2,g(x)=x3,若f′(x)-g′(x)=-2,则x=________.【导学号:26160079】【解析】因为f′(x)=5x,g′(x)=3x2,所以5x-3x2=-2,解得x1=-13,x2=2.【答案】-13或27.若曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=________.【解析】∵y=x-12,∴y′=-12x-32,∴曲线在点(a,a-12)处的切线斜率k=-12a-32,∴切线方程为y-a-12=-12a-32(x-a).令x=0得y=32a-12;令y=0得x=3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12·3a·32a-12=94a12=18,∴a=64.【答案】648.已知函数f(x)=f′π4cosx+sinx,则fπ4的值为________.【解析】∵f′(x)=-f′π4sinx+cosx,∴f′π4=-f′π4×22+22,得f′π4=2-1.∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,∴fπ4=1.【答案】1三、解答题9.求下列函数的导数:(1)y=(x+1)2(x-1);(2)y=x2sinx;(3)y=ex+1ex-1.【解】(1)法一:y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1.(2)y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.(3)y′=ex+1′ex-1-ex+1ex-1′ex-12=exex-1-ex+1exex-12=-2exex-12.10.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.【解】因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f′(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f′(1)=3+2a+b,又f′(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.令x=2,得f′(2)=12+4a+b,又f′(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-32.所以f(x)=x3-32x2-3x+1,从而f(1)=-52.又f′(1)=2×-32=-3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y--52=-3(x-1),即6x+2y-1=0.[能力提升]1.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为()A.1eB.-1eC.-eD.e【解析】y′=ex,设切点为(x0,y0),则y0=kx0,y0=ex0,k=ex0,∴ex0=ex0·x0,∴x0=1,∴k=e.故选D.【答案】D2.若f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2016(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】因为f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=cosx,所以循环周期为4,因此f2016(x)=f4(x)=sinx.【答案】A3.已知f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,则f′(0)=________.【解析】因为f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,所以f′(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+1)(x+3)(x+4)·(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),所以f′(0)=1×2×3×4×5=120.【答案】1204.设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.【导学号:26160080】【解】(1)7x-4y-12=0可化为y=74x-3.当x=2时,y=12.又f′(x)=a+bx2,于是2a-b2=12,a+b4=74,解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.(2)证明:设点P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+3x2可知曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为:y-y0=1+3x20(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x20(x-x0).令x=0,得y=-6x0,从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,-6x0.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为12·-6x0·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x围成的三角形的面积为定值,此定值为6.