学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列是函数f(x)在[a,b]上的图象,则f(x)在(a,b)上无最大值的是()【解析】在开区间(a,b)上,只有D选项中的函数f(x)无最大值.【答案】D2.函数f(x)=2x+1x,x∈(0,5]的最小值为()A.2B.3C.174D.22+12【解析】由f′(x)=1x-1x2=x32-1x2=0,得x=1,且x∈(0,1]时,f′(x)0;x∈(1,5]时,f′(x)0,∴x=1时,f(x)最小,最小值为f(1)=3.【答案】B3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值为M,最小值为m,则M-m的值为()A.2B.-4C.4D.-2【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0,得x=0或x=2.因为f(0)=2,f(-1)=-2,f(1)=0,所以M=2,m=-2.所以M-m=4.【答案】C4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<12【解析】∵f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0得x2=a.∴x=±a.又∵f(x)在(0,1)内有最小值,∴0<a<1,∴0<a<1.故选B.【答案】B5.已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为()A.1B.4C.-1D.0【解析】∵f′(x)=3ax2,∴f′(1)=3a=6,∴a=2.当x∈[1,2]时,f′(x)=6x2>0,即f(x)在[1,2]上是增函数,∴f(x)max=f(2)=2×23+c=20,∴c=4.【答案】B二、填空题6.函数f(x)=3x+sinx在x∈[0,π]上的最小值为________.【解析】f′(x)=3xln3+cosx.∵x∈[0,π]时,3xln3>1,-1≤cosx≤1,∴f′(x)>0.∴f(x)递增,∴f(x)min=f(0)=1.【答案】17.已知函数f(x)=x3-32ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-1,则a=________,b=________.【解析】∵f′(x)=3x2-3ax=3x(x-a),令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a.∵a>1,∴当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f′(x)+0-f(x)-1-32a+b极大值b1-32a+b由题意得b=1.f(-1)=-3a2,f(1)=2-3a2,f(-1)<f(1),∴-3a2=-1,∴a=23.【答案】2318.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为________.【导学号:26160094】【解析】∵x∈(0,1],∴f(x)≥0可化为a≥3x2-1x3.设g(x)=3x2-1x3,则g′(x)=31-2xx4.令g′(x)=0,得x=12.当0x12时,g′(x)0;当12x≤1时,g′(x)0.∴g(x)在(0,1]上有极大值g12=4,它也是最大值,故a≥4.【答案】[4,+∞)三、解答题9.求下列各函数的最值.(1)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1];(2)y=5-36x+3x2+4x3,x∈(-2,2).【解】(1)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0,∴f′(x)在[-1,1]上为增函数.故x=-1时,f(x)最小值=-12;x=1时,f(x)最大值=2.即f(x)的最小值为-12,最大值为2.(2)y′=-36+6x+12x2,令y′=0,即12x2+6x-36=0,解得x1=32,x2=-2(舍去).当x∈-2,32时,f′(x)<0,函数单调递减;当x∈32,2时,f′(x)>0,函数单调递增.∴函数f(x)在x=32时取得极小值f32=-2834,无极大值,即在(-2,2)上函数f(x)的最小值为-2834,无最大值.10.设f(x)=-13x3+12x2+2ax.(1)若f(x)在23,+∞上存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0a2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-163,求f(x)在该区间上的最大值.【解】由f′(x)=-x2+x+2a=-x-122+14+2a,当x∈23,+∞时,f′(x)的最大值为f′23=29+2a;令29+2a0,得a-19.所以,当a-19时,f(x)在23,+∞上存在单调递增区间.(2)令f′(x)=0,得两根x1=1-1+8a2,x2=1+1+8a2.所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2).又f(4)-f(1)=-272+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-403=-163,得a=1,x2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=103.[能力提升]1.已知函数f(x)、g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)0,∴u(x)在[a,b]上为减函数,∴u(x)在[a,b]上的最大值为u(a)=f(a)-g(a).【答案】A2.设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则|MN|的最小值为()A.13(1+ln3)B.13ln3C.1+ln3D.ln3-1【解析】由题意知,|MN|=|x3-lnx|.设h(x)=x3-lnx,h′(x)=3x2-1x,令h′(x)=0,得x=313,易知,当x=313时,h(x)取得最小值,h(x)min=13-13ln13=131-ln130,故|MN|min=131-ln13=13(1+ln3).【答案】A3.已知函数f(x)=2lnx+ax2(a0),若当x∈(0,+∞)时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.【导学号:26160095】【解析】由f(x)≥2,得a≥2x2-2x2lnx.设g(x)=2x2-2x2lnx,则g′(x)=2x(1-2lnx),令g′(x)=0,得x=e12或x=0(舍去),因为当0xe12时,g′(x)0;当xe12时,g′(x)0.所以当x=e12时,g(x)取得最大值g(e12)=e,故a≥e.【答案】a≥e4.设23<a<1,函数f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1,最小值为-62,求常数a,b的值.【解】令f′(x)=3x2-3ax=0,得x1=0,x2=a.由题意可知当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f′(x)+0-0+f(x)-1-32a+bb-a32+b1-32a+b从上表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较f(0)与f(1)的大小.因为f(0)-f(1)=32a-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,所以b=1,又f(-1)-f(a)=12(a+1)2(a-2)<0,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-32a+b=-32a,所以-32a=-62,所以a=63.综上,a=63,b=1.