高中数学人教A版选修11学业分层测评19生活中的优化问题举例Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A．6mB．8mC．4mD．2m【解析】设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝256x2.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·256x2＋x2＝256×4x＋x2.S′＝2x－256×4x2，令S′＝0得x＝8，因此h＝25664＝4(m)．【答案】C2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300【解析】由题意可得总利润P(x)＝－x3900＋300x－20000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300≤x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.【答案】D3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A．32,16B．30,15C．40,20D．36,18【解析】要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．设场地宽为x米，则长为512x米，因此新墙总长L＝2x＋512x(x＞0)，则L′＝2－512x2.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(米)，可使L最小．【答案】A4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元【解析】毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，故当P＝30时，毛利润最大，∴f(P)max＝f(30)＝23000(元)．【答案】D5．三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为()A．4B．8C.43D.83【解析】V＝13×2x22·y＝x2y3＝x23－x3＝3x2－x33(0＜x＜3)，V′＝6x－3x23＝2x－x2＝x(2－x)．令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．∴x＝2时，V最大为43.【答案】C二、填空题6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝27R2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·27R，令S′表＝2πR－54πR2＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．【答案】37．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米.【导学号：26160099】【解析】设广场的长为x米，则宽为40000x米，于是其周长为y＝2x＋40000x(x0)，所以y′＝21－40000x2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0x200时，y′0；当x200时，y′0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】8008．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．【解析】设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝k110得k1＝20；由8＝10k2得k2＝45.∴两项费用之和为y＝20x＋4x5(x＞0)，y′＝－20x2＋45，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．【答案】5三、解答题9．(2016·武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？【解】设该厂生产x件这种产品利润为L(x)，则L(x)＝500x－2500－C(x)＝500x－2500－200x＋136x3＝300x－136x3－2500(x∈N)，令L′(x)＝300－112x2＝0，得x＝60(件)，又当0≤x≤60时，L′(x)0，x60时，L′(x)0，所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．所以当x＝60时，L(x)max＝9500元．10．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．【解】设容器底面较短的边长为xm，则容器底面较长的边长为(x＋0.5)m，高为14.8－4x－4x＋0.54＝3.2－2x(m)，由3.2－2x0和x0，得0x1.6.设容器容积为ym3，则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0x1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，得x1＝1，x2＝－415(舍去)，当0x1时，y′0；当1x1.6时，y′0，所以在x＝1处y有最大值，此时容器的高为1.2m，最大容积为1.8m3.[能力提升]1．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)是每小时400元．如果甲、乙两地相距800千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为()A．30千米/时B．25千米/时C．20千米/时D．10千米/时【解析】设航速为v(0≤v≤30)，燃料费为m，则m＝kv3，∵v＝10时，m＝25，代入上式得k＝140，则总费用y＝800v·m＋800v×400＝20v2＋320000v，∴y′＝40v－320000v2.令y′＝0，得v＝20.经判断知v＝20时，y最小，故选C.【答案】C2．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.l63πB.l33πC.l43πD.14l43π【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝l－4r2，V＝πr2h＝l2πr2－2πr30＜r＜l4.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝l6，而r＞0，∴r＝l6是其唯一的极值点．当r＝l6时，V取得最大值，最大值为l63π.【答案】A3．如图3－4－4，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．图3－4－4【解析】设CD＝x，则点C坐标为x2，0，点B坐标为x2，1－x22，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·1－x22＝－x34＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－34x2＋1＝0，得x1＝－23(舍)，x2＝23，∴x∈0，23时，f′(x)0，f(x)是递增的；x∈23，2时，f′(x)0，f(x)是递减的，∴当x＝23时，f(x)取最大值439.【答案】4394．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3240－x2＋2x＋53，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价—每辆车的投入成本)×年销售量)【导学号：26160100】【解】由题意，得本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)万元，本年度每辆车出厂价为13(1＋0.7x)万元，本年度的年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]y＝(3－0.9x)×3240×－x2＋2x＋53＝3240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．令f′(x)＝0，解得x＝59或x＝3(舍去)．当x∈0，59时，f′(x)0；当x∈59，1时，f′(x)0.所以，当x＝59时，f(x)取得极大值，f59＝20000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．故当x＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．