高中数学人教A版选修11章末综合测评1Word版含解析

章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】A2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x1”是“x31”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x1时，x31成立，反过来，当x31时，x1也成立．因此“x1”是“x31”的充要条件，故选C.【答案】C3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.【答案】A5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧¬qB．¬p∧qC．¬p∧¬qD．p∧q【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.【答案】A6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】D7．原命题为“若an＋an＋12＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】从原命题的真假入手，由于an＋an＋12＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】A8．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】q⇒¬p等价于p⇒¬q，¬pD⇒/q等价于¬qD⇒/p.故p是¬q的充分而不必要条件．【答案】A9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a＜0B．a＞0C．a＜－1D．a＞1【解析】一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根⇔3a＜0，解得a＜0，故a＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】C10．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是()【导学号：26160027】A．m＞－1，n＜5B．m＜－1，n＜5C．m＞－1，n＞5D．m＜－1，n＞5【解析】∵P(2,3)∈A∩(∁UB)，∴满足2×2－3＋m＞0，2＋3－n＞0，故m＞－1，n＜5.【答案】A11．下列命题中为真命题的是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2xx2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a1，b1是ab1的充分条件【解析】对于∀x∈R，都有ex0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当ab＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，ab无意义，故选项C是假命题；当a1，b1时，必有ab1，但当ab1时，未必有a1，b1，如当a＝－1，b＝－2时，ab1，但a不大于1，b不大于1，故a1，b1是ab1的充分条件，选项D是真命题．【答案】D12．下列命题中真命题的个数为()①命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题；②设α，β∈－π2，π2，则“αβ”是“tanαtanβ”的充要条件；③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x∈R，x2＋x＋10”的否定是“∃x0∈R，x20＋x0＋10.”A．1B．2C．3D．4【解析】①命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x∈－π2，π2时，正切函数y＝tanx是增函数，所以当α，β∈－π2，π2时，αβ⇔tanαtanβ，所以“αβ”是“tanαtanβ”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x∈R，x2＋x＋10”的否定是“∃x0∈R，x20＋x0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p：x＞2或x＜23；q：x＞2或x＜－1，则¬p是¬q的________条件．【解析】¬p：23≤x≤2.¬q：－1≤x≤2.¬p⇒¬q，但¬qD⇒/¬p.∴¬p是¬q的充分不必要条件．【答案】充分不必要14．若命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a0且x2－2ax＋10”是假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】若对于任意实数x，都有x2＋ax－4a0，则Δ＝a2＋16a0，即－16a0；若对于任意实数x，都有x2－2ax＋10，则Δ＝4a2－40，即－1a1，故命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a0且x2－2ax＋10”是真命题时，有a∈(－1,0)．而命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a0且x2－2ax＋10”是假命题，故a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】(－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；④若sinα＋cosα1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】①③16．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．【解析】p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，∵¬p是¬q的充分条件(即¬p⇒¬q)，∴q⇒p，∴a－4≤2，a＋4≥3，∴－1≤a≤6.【答案】[－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－120的解集是{x|x4或x－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－120的解集是{x|x4}；q：不等式x2－x－120的解集是{x|x－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2－3x＋30；(4)有些质数不是奇数．【解】(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．(3)∀x∈R，x2－3x＋30，真命题；否定：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．【解】由x20－ax0＋1＝0有实根，得Δ＝a2－4≥0⇒a≥2或a≤－2.因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.因此命题q为真命题的范围是a≥0.根据p∨q为假命题知：p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2a2，q为假命题对应的范围是a0.这样得到二者均为假命题的范围就是－2a2，a0⇒－2a0.21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解】(1)由x2－4ax＋3a20，得(x－3a)·(x－a)0，又a0，所以ax3a，当a＝1时，1x3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1x3，由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，所以q为真时，实数x的取值范围是2≤x≤3.若p∧q为真，则2≤x3，所以实数x的取值范围是[2,3)．(2)设A＝{x|ax3a}，B＝{x|2≤x≤3}，由题意可知q是p的充分不必要条件，则BA，所以0a2，3a3⇒1a2，所以实数a的取值范围是(1,2)．22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，试求实数a的取值范围.【导学号：26160028】【解】由f(x)＝ax2＋x是二次函数，知a≠0.|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]，①当x＝0，a≠0时，①式显然成立；当x∈(0,1]时，①式化为－1x2－1x≤a≤1x2－1x，当x∈(0,1]时恒成立．设t＝1x，则t∈[1，＋∞)，所以－t2－t≤a≤t2－t.令f(t)＝－t2－t＝－t＋122＋14，t∈[1，＋∞)，所以f(t)max＝－2.令g(t)＝t2－t＝t－122－14，t∈[1，＋∞)，所以g(t)min＝0.所以只需－2≤a≤0.综上所述，实数a的取值范围是[－2,0)．