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学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题【解析】因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．【答案】C2．有下列四个命题：(1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)假原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题(2)假原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题(3)假该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题(4)假该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，显然是假命题【答案】A3．下列说法中错误的个数是()①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”；②命题“若x＞1，则x－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”；③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”；④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”．A．1B．2C．3D．4【解析】①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．【答案】C4．已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】B5．在下列四个命题中，真命题是()A．“x＝3时，x2＋2x－3＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若acbc，则abD．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】A中命题的否命题为“x≠3时，x2＋2x－3≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c0时，为假命题；D中原命题与逆否命题等价，都是真命题．故选D.【答案】D二、填空题6．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________．【答案】若x，y不全为零，则xy≠07．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)【答案】②和③①和③①和②8．给出下列命题：①命题“若b2－4ac0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若ab0，则3a3b0”的逆否命题；④“若m1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)0的解集为R”的逆命题．其中，真命题的序号为________.【导学号：26160008】【解析】①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；③因为命题“若ab0，则3a3b0”是真命题，故其逆否命题是真命题；④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)0的解集是R，则m1，假命题．所以应填①②③.【答案】①②③三、解答题9．写出命题“已知a，b∈R，若a2b2，则ab”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：已知a，b∈R，若ab，则a2b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.原命题是假命题．逆否命题也是假命题．逆命题是假命题．否命题也是假命题．10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．[能力提升]1．(2014·陕西高考)原命题为“若an＋an＋12an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】an＋an＋12an⇔an＋1an⇔{an}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.【答案】A2．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若x＝1，则x2＝1”的逆命题；④若m＞2，则x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则x＋y≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若x2＝1，则x＝1”，为假命题；命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.【答案】B3．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________.【导学号：26160009】【解析】由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴m－1≤1，m＋1≥2，∴1≤m≤2.【答案】[1,2]4．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．【解】(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．