高中数学人教A版选修12学业分层测评4演绎推理Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为()A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为an＝1nn＋1(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2【解析】A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．【答案】C2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论【解析】结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．【答案】B3．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝log13x是对数函数(小前提)，所以y＝log13x是增函数(结论)．”上面推理错误的是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【解析】大前提y＝logax是增函数错误，当0a1时，函数y＝logax是减函数．【答案】A4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB【解析】三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.【答案】A5．定义运算“⊗”为：a⊗b＝ab＋a2＋b2，若1⊗m3，则m的取值范围是()【导学号：19220017】A．(－2,1)B．(－1,2)C．(－2，－1)D．(1,2)【解析】依题意，1⊗m3，即m＋1＋m23，整理得m2＋m－20，解得－2m1，所以m的取值范围是(－2,1)．【答案】A二、填空题6．以下推理过程省略的大前提为________．因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.【答案】若a≥b，则a＋c≥b＋c7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：设a，b与面α分别相交于A，B，连接A，B，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，①∴a⊥AB，b⊥AB，②∴a∥b.③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．【解析】②⇒③时，大前提错误，导致结论错误．【答案】②⇒③8．“如图2­1­7，在△ABC中，ACBC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD∠BCD”．图2­1­7证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，ACBC，①所以ADBD，②于是∠ACD∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．【解析】由ADBD，得到∠ACD∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“ADBD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．【答案】③三、解答题9．用三段论证明通项公式为an＝cqn(c，q为常数，且cq≠0)的数列{an}是等比数列．【证明】设an＋1，an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，因为an＋1an＝cqn＋1cqn＝q(常数)(小前提)，所以{an}是等比数列．(结论)10．已知a0且函数f(x)＝2xa＋a2x是R上的偶函数，求a的值．【解】由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，即2－xa＋a2－x＝2xa＋a2x，所以1a·2x＋a·2x＝2xa＋a2x，整理得a－1a(2x－2－x)＝0，必有a－1a＝0.又因为a0，所以a＝1.[能力提升]1．(2016·海淀区模拟)下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x20恒成立．以上推理中()A．大前提错误B．小前提错误C．结论正确D．推理形式错误【解析】f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.【答案】A2．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集【解析】A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．【答案】C3．(2016·西城高二检测)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则f2f1＋f4f3＋…＋f2018f2017＝________.【解析】∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．令b＝1，则fa＋1fa＝f(1)＝2(小前提)．∴f2f1＝f4f3＝…＝f2018f2017＝2(结论)，∴原式＝2＋2＋…＋21009个＝2018.【答案】20184．设数列{an}的首项a1＝a≠14，且an＋1＝12an，n为偶数，an＋14，n为奇数.记bn＝a2n－1－14，n＝1,2,3，….(1)求a2，a3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．【解】(1)a2＝a1＋14＝a＋14，a3＝12a2＝12a＋18.(2)∵a4＝a3＋14＝12a＋38，∴a5＝12a4＝14a＋316.∴b1＝a1－14＝a－14≠0，b2＝a3－14＝12a－14，b3＝a5－14＝14a－14.猜想{bn}是公比为12的等比数列．证明如下：∵bn＋1＝a2n＋1－14＝12a2n－1＋14－14＝12a2n－1－14＝12bn(n∈N*)，∴{bn}是首项为a－14，公比为12的等比数列.