高中数学人教A版选修12学业分层测评7反证法Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】C2．下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数【解析】a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．【答案】D3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()【导学号：19220029】A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】D4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则a＋b＋c6，①而a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥6，②显然①，②矛盾，所以C正确．【答案】C5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为()A．①②③B．①③②C．②③①D．③①②【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．【答案】D二、填空题6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”．【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果ab，那么3a3b”时，假设的内容应是________．【解析】3a与3b的关系有三种情况：3a3b，3a＝3b和3a3b，所以“3a3b”的反设应为“3a＝3b或3a3b”．【答案】3a＝3b或3a3b8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b2；④a2＋b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】若a＝13，b＝23，则a＋b＝1，但a1，b1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b22，故④不能推出．对于③，即a＋b2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】③三、解答题9．已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【导学号：19220030】【证明】假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有a＋b＋c3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2x－122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．【证明】假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方得a＋c＋2ac＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以a，b，c不成等差数列．[能力提升]1．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．【答案】D2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sinA≠sinB”．若用反证法证明，得出的矛盾是()A．与已知条件矛盾B．与三角形内角和定理矛盾C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D．与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sinA＝sinB，因为0Aπ，0Bπ，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sinA≠sinB.【答案】C3．(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．【答案】丙4．(2016·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．【证明】假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以a2n＝an－1an＋1，b2n＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbnpq＋qp，即2＝pq＋qp.②当p，q异号时，pq＋qp0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以pq＋qp2，与②相矛盾．故数列{cn}不是等比数列．