高中数学人教A版选修21模块综合测评Word版含答案

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a∉A或b∉B”的否定形式是()A．若a∉A，则b∉BB．a∈A或b∈BC．a∉A且b∉BD．a∈A且b∈B【解析】“p或q”的否定为“綈p且綈q”，D正确．【答案】D2．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵a2＜2a⇔a(a－2)＜0⇔0＜a＜2.∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．【答案】B3．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54【解析】由题意，1－b2a2＝322＝34，∴b2a2＝14，而双曲线的离心率e2＝1＋b2a2＝1＋14＝54，∴e＝52.【答案】B4．已知空间向量a＝(t，1，t)，b＝(t－2，t，1)，则|a－b|的最小值为()A.2B.3C．2D．4【解析】|a－b|＝2（t－1）2＋4≥2，故选C.【答案】C5．椭圆x225＋y29＝1与椭圆x2a2＋y29＝1有()A．相同短轴B．相同长轴C．相同离心率D．以上都不对【解析】对于x2a2＋y29＝1，因a29或a29，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A，B，C均不正确，故选D.【答案】D6．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1­AB­C为()A.π3B.2π3C.3π4D.π4【解析】以A为原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面ABC的一个法向量为AA1→＝(0，0，1)，平面ABC1的一个法向量为A1D→＝(0，1，－1)，∴cos〈AA1→，A1D→〉＝－12＝－22，∴〈AA1→，A1D→〉＝3π4，又二面角C1­AB­C为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5【解析】∵∀x∈[1，2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.【答案】C8．已知p：1x＋20，q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的()【导学号：18490126】A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】不等式1x＋20的解集为{x|x－2}，则綈p：x≥－2.q：x－2.故綈p⇒/q，q⇒綈p，故选C.【答案】C9.如图1，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线，分别交抛物线的准线l、y轴、抛物线于A，B，C三点，若AB→＝3BC→，那么直线AF的斜率是()图1A．－3B．－33C．－22D．－1【解析】过点B，C分别作准线l的垂线，垂足分别为B1，C1，设|BC|＝a.因为O是EF的中点，BO∥AE，所以|AB|＝|BF|＝3a，|CF|＝|CC1|＝2a，在△ACC1中，|AC1|＝23a，tan∠AFO＝tan∠ACC1＝3，故直线AF的斜率是－3，故选A.【答案】A10．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为23，则k的值为()A．－13B.13C．±13D．±12【解析】由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为c，±b2a，则斜率k＝±b2ac＋a＝±b2ac＋a2＝±a2－c2ac＋a2＝±1－e2e＋1＝±(1－e)＝±13，故选C.【答案】C11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，4，|BF|成等差数列，则k＝()A．2或－1B．－1C．2D．1±5【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx－2，y2＝8x，消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)0，解得k－1，且x1＋x2＝4（k＋2）k2.由|AF|＝x1＋p2＝x1＋2，|BF|＝x2＋p2＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，所以4（k＋2）k2＝4，解得k＝－1或k＝2，又k－1，故k＝2，故选C.【答案】C12．(2016·上海杨浦模考)若F1，F2为双曲线C：x24－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为()A.55B.155C.2155D.1520【解析】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，点P到x轴的距离为|yP|，则S△F1PF2＝12r1r2sin60°＝34r1r2，又4c2＝r21＋r22－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋2r1r2－r1r2＝4a2＋r1r2，得r1r2＝4c2－4a2＝4b2＝4，所以S△F1PF2＝12r1r2sin60°＝3＝12·2c·|yP|＝5|yP|，得|yP|＝155，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)，若A，B，C三点共线，则p＋q＝________．【解析】由已知，得AC→＝kAB→，所以(p－1，－2，q＋4)＝k(1，－1，3)，得到p＝3，q＝2，p＋q＝5.【答案】514．已知命题p：∃x0∈R，ax20＋x0＋12≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】因为命题p为假命题，所以命题“∀x∈R，ax2＋x＋120”为真命题．当a＝0时，取x＝－1，则不等式不成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，令ax2＋x＋12＝0，则有a0，Δ0，即a0，Δ＝1－2a0，所以a0，a12，即实数a的取值范围是12，＋∞.【答案】12，＋∞15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB＝π2，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则|MN||AB|的最大值为______.【导学号：18490127】【解析】如图所示，设|AF|＝a，|BF|＝b，则|AB|＝a2＋b2，而根据抛物线的定义可得|MN|＝a＋b2，又a＋b2≤a2＋b22，所以|MN||AB|＝a＋b2a2＋b2≤22，当且仅当a＝b时，等号成立，即|MN||AB|的最大值为22.【答案】2216．四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________．【解析】如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，则重心G23，23，0，因此DP→＝(0，0，1)，GP→＝－23，－23，1，所以sinθ＝|cos〈DP→，GP→〉|＝|DP→·GP→||DP→|·|GP→|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．【解】∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件．∴BA.当B＝∅时，得a＝0；当B≠∅时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝12.综上所述，实数a组成的集合是0，1，12.18.(本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ是圆C的内接等腰梯形，向量CM→与PN→的夹角为120°，QC→·QM→＝2.图2(1)求圆C的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．【解】(1)连结CQ，建立如图坐标系，由题意得△CQM为正三角形．∴QC→·QM→＝r2·cos60°＝2，∴r＝2，∴圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)易知M(2，0)，N(－2，0)，Q(1，3)，2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2.∴c＝2，a＝3＋1，b2＝a2－c2＝23.∴椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.19.(本小题满分12分)如图3，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.图3(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．【解】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，M(0，1，1)，于是AC→＝(1，2，0)，AM→＝(0，1，1)，CD→＝(－1，0，0)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥AC→，n⊥AM→可得x＋2y＝0，y＋z＝0.令z＝1，得x＝2，y＝－1，于是n＝(2，－1，1)．设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sinα＝CD→·n|CD→||n|＝63，cosα＝33.故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.20.(本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．图4(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值．【解】(1)证明：取CD的中点E，连接BE，如图(1)．图(1)∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.(2)以D为原点，DA→，DC→，DD1→的方向为x，y，z轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，图(2)∴AC→＝(－4k，6k，0)，AB1→＝(0，3k，1)，AA1→＝(0，0，1)．设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由AC→·n＝0，AB1→·n＝0，得－4kx＋6ky＝0，3ky＋z＝0.取y＝2，得n＝(3，2，－6k)．设AA1与平面AB1C所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AA1→，n〉|＝AA1→·n|AA1→||n|＝6k36k2＋13＝67，解得k＝1，故所求k的值为1.21.(本小题满分12分)如图5，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A，B两点．图5(1)用p表示|AB|；(2)若OA→·OB→＝－3，求这个抛物线的方程．【解】(1)抛物线的焦点为Fp2，0，过点F且倾斜角为π4的直线方程为y＝x－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2＝2