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课时跟踪检测(九)复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1＋z2|＝()A．1B.5C．2D．3解析：选B由图象可知z1＝－2－2i，z2＝i，所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝5.2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于()A．1－3iB．－2＋11iC．－2＋iD．5＋5i解析：选D∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.又∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.3．在复平面内的平行四边形ABCD中，AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，则DA对应的复数是()A．2＋14iB．1＋7iC．2－14iD．－1－7i解析：选D依据向量的平行四边形法则可得DA＋DC＝DB，DC－DA＝AC，由AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得DA对应的复数是－1－7i.4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4C．42D．16解析：选C由|z－4i|＝|z＋2|得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝223＝42，当且仅当x＝2y＝32时，2x＋4y取得最小值42.5．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：选A设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．二、填空题6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.解析：∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，∴x＋3＝5，2－y＝－6，即x＝2，y＝8，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z|＝5，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.由题意知x－2＝0，y＋4≠0，x2＋y2＝5.∴x＝2，y＝1或x＝2，y＝－1.∴z＝2±i.答案：2±i8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．解析：因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限．答案：二三、解答题9.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)向量AO对应的复数；(2)向量CA对应的复数；(3)向量OB对应的复数．解：(1)因为AO＝－OA，所以向量AO对应的复数为－3－2i.(2)因为CA＝OA－OC，所以向量CA对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB＝OA＋OC，所以向量OB对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.10．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝12x上，求θ的值．解：(1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，∴AB＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．∴AB对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝12x，得－2sin2θ＝－12，即sin2θ＝14，∴sinθ＝±12.又∵θ∈(0，π)，∴sinθ＝12，∴θ＝π6或5π6.