高中数学人教A版选修12课时跟踪检测五综合法和分析法Word版含解析

课时跟踪检测(五)综合法和分析法一、选择题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选C①②③⑤正确．2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：选A本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝1x′＝－1x2＜0，∴f(x)＝1x在(0，＋∞)上为减函数．3．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.14解析：选B3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以ab≤a＋b2＝12⇒ab≤14，所以1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥114＝4.4．A，B为△ABC的内角，AB是sinAsinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C若AB，则ab，又asinA＝bsinB，∴sinAsinB；若sinAsinB，则由正弦定理得ab，∴AB.5．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则()A.fx1＋fx22≤fx1＋x22B.fx1＋fx22＝fx1＋x22C.fx1＋fx22≥fx1＋x22D.fx1＋fx22＞fx1＋x22解析：选D因为x1≠x2，所以fx1＋fx22＝ax1＋1＋ax2＋12＞ax1＋1·ax2＋1＝ax1＋x22＋1＝fx1＋x22，所以fx1＋fx22＞fx1＋x22.二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx取导得f′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了______________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法7．如果aa＋bb＞ab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________．解析：aa＋bb＞ab＋ba⇔aa－ab＞ba－bb⇔a(a－b)＞b(a－b)⇔(a－b)(a－b)＞0⇔(a＋b)(a－b)2＞0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b8．已知sinθ＋cosθ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos2θ＝________.解析：因为sinθ＋cosθ＝15，所以1＋sin2θ＝125，所以sin2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－725.答案：－725三、解答题9．求证：2cos(α－β)－sin2α－βsinα＝sinβsinα.证明：要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，左边＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)·sinα＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα＝sinβ＝右边．所以原等式成立．10．设f(x)＝lnx＋x－1，证明：(1)当x＞1时，f(x)＜32(x－1)；(2)当1＜x＜3时，f(x)＜9x－1x＋5.证明：(1)记g(x)＝lnx＋x－1－32(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝1x＋12x－32＜0.又g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜32(x－1)．(2)记h(x)＝f(x)－9x－1x＋5，则h′(x)＝1x＋12x－54x＋52＝2＋x2x－54x＋52＜x＋54x－54x＋52＝x＋53－216x4xx＋52.令p(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3)内单调递减，又p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜9x－1x＋5.