高中数学人教A版选修12阶段质量检测三Word版含解析

阶段质量检测（三）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(江西高考)已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A．－2iB．2iC．－4iD．4i解析：选C由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，故z＝4i＝4ii2＝－4i.2．复数z＝1－i21＋i(i为虚数单位)的虚部为()A．1B．－1C．±1D．0解析：选B因为z＝1－i21－i1＋i1－i＝－1－i，所以复数z的虚部为－1.3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋bi＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0.∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．4．复数z＝－3＋i2＋i的共轭复数是()A．2＋iB．2－iC．－1＋iD．－1－i解析：选Dz＝－3＋i2＋i＝－3＋i2－i2＋i2－i＝－5＋5i5＝－1＋i，所以其共轭复数为＝－1－i.5．在复平面内，复数11＋i，11－i(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为()(A卷学业水平达标)A.12B．1C.12iD．i解析：选A11＋i＝12－12i，11－i＝12＋12i，故在复平面内对应的点A12，－12，B12，12，故点C12，0，对应的复数为12.6．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则zi＋i·＝()A．－2B．－2iC．2D．2i解析：选C因为z＝1＋i，所以zi＋i·z＝－i＋1＋i＋1＝2.7．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析：选D对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B、C，易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z21＝4，z22＝－2＋23i，是假命题．8．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是()A．(0,3)B．(－∞，－2)C．(－2,0)D．(3,4)解析：选D整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应的点位于第二象限，则m2－4m＜0，m2－m－6＞0，解得3＜m＜4.9．定义运算abcd＝ad－bc，则符合条件1－1zzi＝4＋2i的复数z为()A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i解析：选A由定义知1－1zzi＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝4＋2i1＋i＝3－i.10．若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1D．b＝2，c＝－1解析：选B因为1＋2i是实系数方程的一个复数根，所以1－2i也是该方程的根，则1＋2i＋1－2i＝2＝－b，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z1－2i的共轭复数是________．解析：由题图知z＝2＋i，则z1－2i＝2＋i1－2i＝2＋i1＋2i1－2i1＋2i＝i，其共轭复数是－i.答案：－i12．计算：[(1＋2i)·i100－i]2－1＋i230＝________.解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－215－i215＝(1＋i)2＋i＝3i.答案：3i13．a为正实数，i为虚数单位，a＋ii＝2，则a＝________.解析：a＋ii＝a＋i·－ii·－i＝1－ai，则a＋ii＝|1－ai|＝a2＋1＝2，所以a2＝3.又因为a为正实数，所以a＝3.答案：314．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且a1－i＋b1－2i＝53＋i，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a，b∈R且a1－i＋b1－2i＝53＋i，即a1＋i2＋b1＋2i5＝3－i2，∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，即5a＋2b＝15，5a＋4b＝－5，解得a＝7，b＝－10，∴z＝7－10i.∴z对应的点位于第四象限．答案：四三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i满足下列条件？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．(3)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6≠0，即k＝4时，z是纯虚数．(4)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6＝0，即k＝－1时，z是0.16．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝15－5i2＋i2.求：(1)z1z2；(2)z1z2.解：因为z2＝15－5i2＋i2＝15－5i3＋4i＝15－5i3－4i3＋4i3－4i＝25－75i25＝1－3i，所以(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z1z2＝2－3i1－3i＝2－3i1＋3i1－3i1＋3i＝11＋3i10＝1110＋310i.17．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－z2|＜|z1|，求a的取值范围．解：∵z1＝－1＋5i1＋i＝2＋3i，z2＝a－2－i，z2＝a－2＋i，∴|z1－z2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝4－a2＋4.又∵|z1|＝13，|z1－z2|＜|z1|，∴4－a2＋4＜13，∴a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.∴a的取值范围是(1,7)．18．(本小题满分14分)已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由z＋2i为实数，得y＝－2.∵z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i，由z2－i为实数，得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知12＋4a－a20，8a－20.解得2a6.∴实数a的取值范围是(2,6)．(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下面三个命题：①0比－i大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1.其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数．2．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.2D.3解析：选C法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，由复数相等的条件得a－b＝0，a＋b＝2，解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故|z|＝12＋12＝2.法二：由z(1＋i)＝2i，得z＝2i1＋i＝2i1－i2＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝12＋12＝2.3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)·i为“等部复数”，则实数a的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选A由已知可得z＝(1＋ai)·i＝－a＋i，(B卷能力素养提升)所以－a＝1，即a＝－1.4．已知a∈R，且0a1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D∵0a1，∴a0且a－10，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D.5．已知复数z＝1＋3i1－i，则z的实部为()A．1B．2C．－2D．－1解析：选D因为z＝1＋3i1－i＝1＋3i1＋i1－i1＋i＝－2＋4i2＝－1＋2i，故z的实部为－1.6．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝bi1＋i，则复数a＋bi为()A．2－iB．2＋iC．1＋2iD．1－2i解析：选C因为a＋i＝bi1＋i，整理得(a＋i)(1＋i)＝bi，∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，由复数相等的条件得a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，∴a＋bi＝1＋2i，故选C.7．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数为()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i解析：选DCA＝CB－AB＝－1－3i－2－i＝－3－4i.8．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－z|＝2yB．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|解析：选D|z|＝x2＋y2≤x2＋2|xy|＋y2＝|x|＋|y|2＝|x|＋|y|，D正确．9．定义运算acbd＝ad＋bc，则符合条件1z－1zi＝4＋2i的复数z为()A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．－1－3i解析：选D由已知得zi－z＝4＋2i，∴z＝4＋2i－1＋i＝4＋2i－1－i2＝－1－3i.10．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数f1＋i3＋i对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A因为f1＋i3＋i＝2i3＋i＝15＋35i，所以选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝________.解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，故|AB|＝－1－12＋3－12＝22.答案：2212．设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________．解析：由iz＝－3＋i，得z＝－3＋ii＝－3＋i－ii－i＝1＋3i，则z的实部为1.答案：113．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若z1z2在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________．解析：z1z2＝3－ai1＋2i＝3－ai1－2i1＋2i1－2i＝3－2a5－6＋a5i，因为z1z2在复平面内对应的点在第四象限，所以3－2a0，6＋a0⇒－6a32.答案：－6，3214．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P1，P2，点O为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．解析：设OP1＝x1＋y1i，OP2＝x2＋y2i(x1