高中数学人教A版选修12阶段质量检测二Word版含解析

阶段质量检测（二）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.则正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点(A卷学业水平达标)B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．5．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋axn≥n＋1，则a的值为()A．2nB．n2C．22(n－1)D．nn解析：选D将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x0，y0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()A．指数函数B．对数函数C．一次函数D．余弦函数解析：选A当函数f(x)＝ax(a0，a≠1)时，对任意的x0，y0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B、C、D选项均不满足要求．7．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.nn－4＋8－n8－n－4＝2B.n＋1n＋1－4＋n＋1＋5n＋1－4＝2C.nn－4＋n＋4n＋4－4＝2D.n＋1n＋1－4＋n＋5n＋5－4＝2解析：选A观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析：选C记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.10．数列{an}满足a1＝12，an＋1＝1－1an，则a2015等于()A.12B.－1C．2D．3解析：选B∵a1＝12，an＋1＝1－1an，∴a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，a5＝1－1a4＝－1，a6＝1－1a5＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)，∴a2015＝a2＋3×671＝a2＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a，b均为实数)，则a＝________，b＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋ab中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.答案：63512．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x2a2＋y2b2＝1类似的性质为：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1.答案：经过椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝113．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足1n[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤fx1＋x2＋…＋xnn，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：因为f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sinA＋sinB＋sinC)≤sinA＋B＋C3(结论)，即sinA＋sinB＋sinC≤3sinπ3＝332.因此，sinA＋sinB＋sinC的最大值是332.答案：33214．观察下图：12343456745678910……则第________行的各数之和等于20152.解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为Sn＝(2n－1)n＋2n－12n－22＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，令(2n－1)2＝20152，得2n－1＝2015，解得n＝1008.答案：1008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，{an}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)①通项an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．解：在等比数列{bn}中，公比为λ(λ≠0)，前n项和为Sn′，{bn}有如下性质：(m，n，p，q∈N*)①通项bn＝bm·λn－m；②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq；③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b2p；④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)构成等比数列．16．(本小题满分12分)观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos60°＋2α2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋cos60°＋2α－cos2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos60°cos2α－sin60°sin2α－cos2α]＋12sin(2α＋30°)＝34－1212cos2α＋32sin2α＋12sin(2α＋30°)＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34，即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝34.17．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列．(1)比较ba与cb的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不可能是钝角．解：(1)ba＜cb.证明如下：要证ba＜cb，只需证ba＜cb.∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c≥21ac，∴b2≤ac.又∵a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cosB＜0.由余弦定理得，cosB＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac＞ac－b22ac＞0，这与cosB＜0矛盾，故假设不成立．所以角B不可能是钝角．法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以1a＞1b＞0，1c＞1b＞0，则1a＋1c＞1b＋1b＝2b，这与1a＋1c＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B不可能是钝角．18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝2，n为奇数，3，n为偶数.其前n项和公式Sn＝5n2，n为偶数，5n－12＋2＝5n－12，n为奇数.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了三段论，但大前提使用错误D．使用了三段论，但小前提使用错误解析：选D应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是()A．增函数的定义B．函数y＝x3满足增函数的定义C．若x1x2，则f(x1)f(x2)D．若x1x2，则f(x1)f(x2)解析：选B三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足(B卷能力素养提升)增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{an}的前n项和Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝πD．由(1＋1)221，(2＋1)222，(3＋1)223，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n解析：选A选项A：为归纳推理，且∵an＝2n－1，∴{an}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则Sn＝n＋nn－12×2＝n2，故A正确；选项B：为演