章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1,则x≥1,或x≤-1B.若-1<x<1,则x2<1C.若x>1,或x<-1,则x2>1D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1【解析】命题“若p,则q”的逆否命题为“若綈q,则綈p”.【答案】D2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定.【答案】D3.命题p:x+y≠3,命题q:x≠1或y≠2,则命题p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】命题“若p,则q”的逆否命题为:“若x=1且y=2,则x+y=3”,是真命题,故原命题为真,反之不成立.【答案】A4.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当x=2且y=-1时,满足方程x+y-1=0,即点P(2,-1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上,但不满足x=2且y=-1,∴“x=2且y=-1”是“点P(x,y)在直线l上”的充分而不必要条件.【答案】A5.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.∀x∈R,使得f(x)>0成立D.∀x∈R,f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0,使得f(x0)>0成立”.故选A.【答案】A6.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()【导学号:18490031】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定是菱形,故选A.【答案】A7.命题p:函数y=lg(x2+2x-c)的定义域为R;命题q:函数y=lg(x2+2x-c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A,命题q为真命题时c的取值集合为B,则A∩B=()A.∅B.{c|c-1}C.{c|c≥-1}D.R【解析】命题p为真命题,即x2+2x-c0恒成立,则有Δ=4+4c0,解得c-1,即A={c|c-1};令f(x)=x2+2x-c,命题q为真命题,则f(x)的值域包含(0,+∞).即Δ=4+4c≥0,求得c≥-1,即B={c|c≥-1}.于是A∩B=∅,故选A.【答案】A8.对∀x∈R,kx2-kx-1<0是真命题,则k的取值范围是()A.-4≤k≤0B.-4≤k<0C.-4<k≤0D.-4<k<0【解析】由题意知kx2-kx-1<0对任意x∈R恒成立,当k=0时,-1<0恒成立;当k≠0时,有k<0,Δ=k2+4k<0,即-4<k<0,所以-4<k≤0.【答案】C9.已知命题p:若(x-1)(x-2)≠0,则x≠1且x≠2;命题q:存在实数x0,使2x0<0.下列选项中为真命题的是()A.綈pB.綈p∨qC.綈q∧pD.q【解析】很明显命题p为真命题,所以綈p为假命题;由于函数y=2x,x∈R的值域是(0,+∞),所以q是假命题,所以綈q是真命题.所以綈p∨q为假命题,綈q∧p为真命题,故选C.【答案】C10.设{an}是公比为q的等比数列,则“q1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】等比数列{an}为递增数列的充要条件为a10,q1或a10,0q1.故“q1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.【答案】D11.已知命题p:∀x0,总有(x+1)ex1,则綈p为()A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1B.∃x00,使得(x0+1)ex0≤1C.∀x0,总有(x+1)ex≤1D.∀x≤0,使得(x+1)ex≤1【解析】因为全称命题∀x∈M,p(x)的否定为∃x0∈M,綈p(x),故綈p:∃x00,使得(x0+1)ex0≤1.【答案】B12.已知p:点P在直线y=2x-3上;q:点P在直线y=-3x+2上,则使p∧q为真命题的点P的坐标是()A.(0,-3)B.(1,2)C.(1,-1)D.(-1,1)【解析】因为p∧q为真命题,所以p,q均为真命题.所以点P为直线y=2x-3与直线y=-3x+2的交点.解方程组y=2x-3,y=-3x+2,得x=1,y=-1,即点P的坐标为(1,-1).【答案】C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=x-3的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________.【解析】p为假命题,q为真命题,故p∨q为真命题,綈p为真命题.【答案】p∨q与綈p14.(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________,否命题是________________.【解析】命题的否定仅否定结论,所以该命题的否定形式是:末位数字是1或3的整数能被8整除;而否命题要同时否定原命题的条件和结论,所以否命题是:末位数字不是1且不是3的整数能被8整除.【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)0是假命题,f(2)0是真命题,则实数m的取值范围是______.【解析】依题意,f(1)=3-m≤0,f(2)=8-m0,∴3≤m8.【答案】[3,8)16.给出以下判断:①命题“负数的平方是正数”不是全称命题;②命题“∀x∈N,x3x2”的否定是“∃x0∈N,使x30x20”;③“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数”的充要条件;④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.其中正确命题的序号是________.【导学号:18490032】【解析】①②④是假命题,③是真命题.【答案】③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)写出下列命题的否定,并判断其真假,同时说明理由.(1)q:所有的矩形都是正方形;(2)r:∃x0∈R,x20+2x0+2≤0;(3)s:至少有一个实数x0,使x30+3=0.【解】(1)綈q:至少存在一个矩形不是正方形,真命题.这是由于原命题是假命题.(2)綈r:∀x∈R,x2+2x+20,真命题.这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥10恒成立.(3)綈s:∀x∈R,x3+3≠0,假命题.这是由于当x=-33时,x3+3=0.18.(本小题满分12分)指出下列命题中,p是q的什么条件?(1)p:{x|x-2或x3};q:{x|x2-x-60};(2)p:a与b都是奇数;q:a+b是偶数;(3)p:0m13;q:方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.【解】(1)因为{x|x2-x-60}={x|-2x3},所以{x|x-2或x3}⇒/{x|-2x3},而{x|-2x3}⇒{x|x-2或x3}.所以p是q的必要不充分条件.(2)因为a,b都是奇数⇒a+b为偶数,而a+b为偶数⇒/a,b都是奇数,所以p是q的充分不必要条件.(3)mx2-2x+3=0有两个同号不等实根⇔Δ0,3m0⇔4-12m0,m0⇔m13,m0⇔0m13.所以p是q的充要条件.19.(本小题满分12分)已知命题p:不等式2x-x2m对一切实数x恒成立,命题q:m2-2m-3≥0,如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题,求实数m的取值范围.【导学号:18490033】【解】2x-x2=-(x-1)2+1≤1,所以p为真时,m1.由m2-2m-3≥0得m≤-1或m≥3,所以q为真时,m≤-1或m≥3.因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题,所以p为真命题,q为假命题,所以得m1,-1m3,即1m3,即m的取值范围为(1,3).20.(本小题满分12分)已知两个命题p:sinx+cosx>m,q:x2+mx+1>0,如果对任意x∈R,有p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.【解】当命题p是真命题时,由于x∈R,则sinx+cosx=2sinx+π4≥-2,所以有m<-2.当命题q是真命题时,由于x∈R,x2+mx+1>0,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.由于p∨q为真,p∧q为假,所以p与q一真一假.考虑到函数f(x)=x2+mx+1的图象为开口向上的抛物线,对任意的x∈R,x2+mx+1≤0不可能恒成立.所以只能是p为假,q为真,此时有m≥-2,-2<m<2,解得-2≤m<2,所以实数m的取值范围是[-2,2).21.(本小题满分12分)已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a0,且a≠1)有意义;命题q:实数t满足不等式t2-(a+3)t+a+20.(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解】(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-50,解得1t52.所以实数t的取值范围是1,52.(2)因为p是q的充分不必要条件,所以t1t52是不等式t2-(a+3)t+a+20的解集的真子集.法一因为方程t2-(a+3)t+a+2=0的两根为1和a+2,所以只需a+252,解得a12.即实数a的取值范围为12,+∞.法二令f(t)=t2-(a+3)t+a+2,因为f(1)=0,所以只需f520,解得a12.即实数a的取值范围为12,+∞.22.(本小题满分12分)设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.【证明】充分性:∵∠A=90°,∴a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.∴该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,∴该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发现,x1=x3,∴方程有公共根.必要性:设x是方程的公共根,则x2+2ax+b2=0,①x2+2cx-b2=0,②由①+②,得x=-(a+c),x=0(舍去).代入①并整理,可得a2=b2+c2.∴∠A=90°.∴结论成立.