高中数学人教A版选修21章末综合测评2Word版含答案

章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为()A.6B．26C．23D．43【解析】方程化为标准方程为x23－y29＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，∴2c＝43.【答案】D2．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是()A．开口向上，焦点为(0，1)B．开口向上，焦点为0，116C．开口向右，焦点为(1，0)D．开口向右，焦点为0，116【解析】抛物线可化为x2＝14y，故开口向上，焦点为0，116.【答案】B3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是()【导学号：18490079】A.12B.32C．1D.3【解析】抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－y23＝1的渐近线3x－y＝0的距离为|3×1－1×0|（3）2＋12＝32，故选B.【答案】B4．已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是()A．x＝－18B．x＝12C．x＝18D．x＝－12【解析】抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－12x，其准线方程为x＝18.【答案】C5．已知点F，A分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.1＋32D.1＋52【解析】∵FB→·AB→＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－1－e＝0，∴e＝1＋52.【答案】D6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x【解析】由e＝52，得ca＝52，∴c＝52a，b＝c2－a2＝12a.而x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，∴所求渐近线方程为y＝±12x.【答案】C7.如图1，已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是()图1A.22B.24C.12D.32【解析】因为PF⊥x轴，所以P－c，b2a.又OP∥AB，所以ba＝b2ac，即b＝c.于是b2＝c2，即a2＝2c2，所以e＝ca＝22.【答案】A8．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C.－74，＋∞D.74，＋∞【解析】因为双曲线左焦点的坐标为F(－2，0)，所以c＝2.所以c2＝a2＋b2＝a2＋1，即4＝a2＋1，解得a＝3.设P(x，y)，则OP→·FP→＝x(x＋2)＋y2，因为点P在双曲线x23－y2＝1上，所以OP→·FP→＝43x2＋2x－1＝43x＋342－34－1.又因为点P在双曲线的右支上，所以x≥3.所以当x＝3时，OP→·FP→最小，且为3＋23，即OP→·FP→的取值范围是[3＋23，＋∞)．【答案】B9．已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是()A.12B.32C.72D．5【解析】已知定点A，B满足|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝32，c＝2.所以|PA|的最小值是点A到右顶点的距离，即为a＋c＝2＋32＝72，选C.【答案】C10．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2n＝1的离心率为12，则n＝()A.3B.32C.23D.83【解析】依题意知，a＝2，b＝n，∴c2＝a2－b2＝2－n，又e＝12，∴c2a2＝2－n2＝14，∴n＝32.【答案】B11．已知直线y＝k(x＋2)与双曲线x2m－y28＝1，有如下信息：联立方程组y＝k（x＋2），x2m－y28＝1，消去y后得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1)当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是()A．(1,3]B．[3，＋∞)C．(1，2]D．[2，＋∞)【解析】依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m，即0m≤4，又e＝1＋b2a2＝1＋8m，所以e≥3.【答案】B12．已知点P为抛物线y2＝2px(p0)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q()A．位于原点的左侧B．与原点重合C．位于原点的右侧D．以上均有可能【解析】设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B.如图，由抛物线的定义知|PC|＝|PF|，由切线性质知|PA|＝|PB|，于是|AC|＝|BF|.又|AC|＝|DO|，|BF|＝|FQ|，所以|DO|＝|FQ|，而|DO|＝|FO|，所以O，Q重合，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2013·江苏高考)双曲线x216－y29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±34x.【答案】y＝±34x14．(2016·东城高二检测)已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________．【解析】由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.【答案】815.如图2所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为________.【导学号：18490080】图2【解析】由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x＝－2，∴K(－2，0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2，4)，∴△AFK的面积为12|KF|·|y0|＝12×4×4＝8.【答案】816．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|PQ|＝2，则直线l的斜率等于________．【解析】设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y2＝4x，y＝k（x＋1），联立得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝－2（k2－2）k2，∴x1＋x22＝－k2－2k2＝－1＋2k2，y1＋y22＝2k，即Q－1＋2k2，2k.又|FQ|＝2，F(1，0)，∴－1＋2k2－12＋2k2＝4，解得k＝±1.【答案】±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3.求椭圆C的方程．【解】设椭圆的半焦距为c，依题意，得a＝3且e＝ca＝63，∴a＝3，c＝2，从而b2＝a2－c2＝1，因此所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.18．(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆x2100＋y2b2＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为6433，求b的值．【解】(1)|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin60°＝6433，∴|PF1|·|PF2|＝2563，①由题意知：|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos60°，∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，∴b＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切．(1)求圆C的方程；(2)若椭圆x225＋y2b2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得△PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．【解】(1)依题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a0)．∵圆与y轴相切，∴a＝4，∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16.(2)∵椭圆x225＋y2b2＝1的离心率为45，∴e＝ca＝25－b25＝45，解得b2＝9.∴c＝a2－b2＝4，∴F1(－4，0)，F2(4，0)，∴F2(4，0)恰为圆心C，(ⅰ)过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，连接CP3，CP4，则∠F1P3F2＝∠F1P4F＝90°，符合题意．综上，圆C上存在4个点P，使得△PF1F2为直角三角形．20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→·MF2→＝0；(3)求△F1MF2的面积．【解】(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)法一由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1→·MF2→＝0.法二∵MF1→＝(－23－3，－m)，MF2→＝(23－3，－m)，∴MF1→·MF2→＝(3＋23)×(3－23)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1→·MF2→＝0.(3)△F1MF2的底边|F1F2|＝43，△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A，B，C是椭圆W：x24＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【解】(1)椭圆W：x24＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2，0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m2＝1，即m＝±32.所以菱形OABC的面积是12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝3.