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学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D为真命题．【答案】D2．下列命题中是假命题的是()A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2＞bc2，则a＞bD．若α＝60°，则cosα＝12【解析】因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.【答案】B3．下列四个命题中，真命题是()A．a＞b，c＞d⇒ac＞bdB．a＜b⇒a2＜b2C．1a＜1b⇒a＞bD．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d【解析】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．【答案】D4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，则下列四个命题为真命题的是()A．在a，b，c，d中有且仅有一个是负数B．在a，b，c，d中有且仅有两个是负数C．在a，b，c，d中至少有一个是负数D．在a，b，c，d中都是负数【解析】举例取特殊值，验证可知C是真命题．【答案】C5．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ca＞0C．若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝3D．在△ABC中，若AB→·BC→＞0，则B为钝角【解析】A中，y＝sin2x＝1－cos2x2，T＝2π2＝π，故A为假命题；C中，∵a∥b，∴1－2＝k6，得k＝－3，故C为假命题；D中，当AB→·BC→＞0时，向量AB→与BC→的夹角为锐角，而B为钝角，故D为假命题．【答案】B二、填空题6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．【解析】②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．【答案】①④7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【解析】①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．【答案】①③⑤⑤8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【导学号：18490003】【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对；只有直线l与α内的两条相交直线垂直时，直线l与α垂直，故④不对．【答案】①②三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋12；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？【解】(1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)等腰梯形的两条对角线相等；(2)平行四边形的两条对角线互相垂直．【解】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．[能力提升]1．若a，b∈R，且a2＋b2≠0，则下列命题：①a，b全为0；②a，b不全为0；③a，b全不为0；④a，b至少有一个不为0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】②④为真命题．【答案】C2．给出下列命题：①在△ABC中，若∠A∠B，则sinAsinB；②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；④若将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，则得到函数y＝sin2x＋π4的图象．其中真命题的序号是()A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④【解析】①②③是真命题．【答案】B3．设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b1；②若1b－1a＝1，则a－b1；③若|a－b|＝1，则|a－b|1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【解析】将条件方程变形分析．①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b1，不合题意，故①正确．②中，1b－1a＝a－bab＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝23满足上式，但a－b＝431，故②错．③中，a，b为正实数，所以a＋b|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a－b)|＝|a＋b|1,故③错．④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.若|a－b|≥1，不妨取ab1，则必有a2＋ab＋b21，不合题意，故④正确．【答案】①④4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m14时，方程mx2－x＋1＝0无实根；(2)平行于同一平面的两条直线平行.【导学号：18490004】【解】(1)命题可改写为：若m14，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当m14时，Δ＝1－4m0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.