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学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用逻辑联结词，共有3个，故选C.【答案】C2．命题“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a，b中至少有一个不为0D．a，b不都为0【解析】只有a≠0且b≠0时，才有ab≠0.【答案】A3．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是()A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假【解析】∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假，应选D.【答案】D4．命题p：若a0，b0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2x－3x＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则()A．“p∨q”为假B．“p∧q”为真C．p真q假D．p假q真【解析】由命题p：a0，b0，ab＝1得a＋b≥2ab＝2，倒推不成立，所以p为假命题；命题q：由x－3x＋20，得x－2或x3，所以q为真命题．【答案】D5．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，綈q同时为假命题，则满足条件的x的集合为()【导学号：18490021】A．{x|x≤－1或x≥3，x∉Z}B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}C．{x|x＜－1或x∈Z}D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}【解析】p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，由p∧q，綈q同时为假命题知，p假q真，∴x满足－1＜x＜3且x∈Z，故满足条件的集合为{x|－1＜x＜3，x∈Z}．【答案】D二、填空题6．已知条件p：(x＋1)24，条件q：xa，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．【解析】由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p⇒綈q，但綈q⇒/綈p，由一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但p⇒/q，又p：x1或x－3，可知{x|xa}{x|x－3或x1}，所以a≥1.【答案】[1，＋∞)7．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．【解析】(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.【答案】p且qp或q非p8．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨(綈q)”表示________．【解析】綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．【答案】甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环三、解答题9．用“且”“或”改写下列命题并判断真假．(1)1不是质数也不是合数；(2)2既是偶数又是质数；(3)5和7都是质数；(4)2≤3.【解】(1)p：1不是质数；q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(真)(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数．(真)(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数．(真)(4)2≤3⇔2＜3或2＝3.(真)10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，綈)表示下列命题：【导学号：18490022】(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．【解】(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p∧綈q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧綈q；②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p∧q.所以命题t表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q)．(4)法一命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.法二綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p∧綈q)．法三命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q)∨(p∧q)．[能力提升]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q【解析】依题意，綈p：“甲没有降落在指定范围”，綈q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．【答案】A2．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【解析】∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数为真命题，y＝2x＋2－x在R上为减函数是假命题．因此p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题．∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4，故选C.【答案】C3．命题p：若mx2－mx－1＜0恒成立，则－4＜m＜0.命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)0的解集为{x|axb}，则“p∨q”，“綈p”，“綈p∧q”中是真命题的是________．【解析】若mx2－mx－1＜0恒成立，则m＝0或m＜0，Δ＝m2＋4m＜0，解得－4＜m≤0.∴命题p是假命题．又(x－a)(x－b)0的解集与a，b的大小有关，∴q假．因此“綈p”为真，“p∨q”与“綈p∧q”为假．【答案】綈p4．已知m0，p：(x＋2)(x－6)≤0，q：2－m≤x≤2＋m.(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m＝5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围.【导学号：18490023】【解】p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m(m0)．(1)∵p是q的充分条件，∴2－m≤－2，2＋m≥6，解之得m≥4.故实数m的取值范围是[4，＋∞)．(2)当m＝5时，q：－3≤x≤7.∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p，q一真一假，当p真q假时，－2≤x≤6，x－3或x7，无解；当p假q真时，x－2或x6，－3≤x≤7，解得－3≤x－2或6x≤7.综上，实数x的取值范围是[－3，－2)∪(6，7].