高中数学人教A版选修21第二章圆锥曲线与方程222第2课时Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知椭圆x23＋y24＝1上的焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝()A．23B．43C．4D．8【解析】由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1为平行四边形，∴|AF1|＝|FD|，同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.【答案】D2．若直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3，0)D．(1，3)【解析】由y＝x＋2，x2m＋y23＝1，消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则3＋m≠0，Δ＝（4m）2－4m（3＋m）0，解得m≠－3，m0或m1.由x2m＋y23＝1表示椭圆，知m0且m≠3.综上可知，m1且m≠3，故选B.【答案】B3．若点P(a，1)在椭圆x22＋y23＝1的外部，则a的取值范围为()A.－233，233B.233，＋∞∪－∞，－233C.43，＋∞D.－∞，－43【解析】因为点P在椭圆x22＋y23＝1的外部，所以a22＋123＞1，解得a＞233或a＜－233，故选B.【答案】B4．椭圆mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为22，则mn的值是()A.22B.233C.922D.2327【解析】联立方程组可得y＝1－x，mx2＋ny2＝1，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝nm＋n，y0＝1－x0＝1－nm＋n＝mm＋n.∴kOP＝y0x0＝mn＝22.故选A.【答案】A5．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA→＝3FB→，则|AF→|＝()A.2B．2C.3D．3【解析】设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．由FA→＝3FB→，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝43，y0＝13n.将x0，y0代入x22＋y2＝1，得12×432＋13n2＝1.解得n2＝1，∴|AF→|＝（2－1）2＋n2＝1＋1＝2.【答案】A二、填空题6．若直线x－y－m＝0与椭圆x29＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________.【导学号：18490053】【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，令Δ＝0，解得m＝±10.【答案】±107．已知F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，由x2＋2y2＝2，y＝x－1，消去y，得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，B43，13.∴|AB|＝423，∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝42－423＝823.【答案】8238．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．【解析】由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组x25＋y24＝1，y＝2x－2，解得A(0，－2)，B53，43，∴S△AOB＝12·|OF|·|yA－yB|＝53.【答案】53三、解答题9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】(1)由题意得4x2＋y2＝1，y＝x＋m，消去y，整理得：5x2＋2mx＋m2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，∴－52≤m≤52.(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得x1＋x2＝－2m5，x1x2＝m2－15.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k2·425m2－4（m2－1）5＝225－4m2＋5.∵－52≤m≤52，∴0≤m2≤54，∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．【解】(1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)由y＝k（x－1），x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，所以|MN|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝2（1＋k2）（4＋6k2）1＋2k2，又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.[能力提升]1．设F1，F2为椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则PF1→·PF2→的值等于()A．0B．2C．4D．－2【解析】由题意得c＝a2－b2＝3，又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2×12×|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.所以PF1→·PF2→＝|PF1→|·|PF2→|·cos120°＝2×2×－12＝－2.故选D.【答案】D2．过椭圆x26＋y25＝1内一点P(2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是()A．5x－3y＋13＝0B．5x＋3y＋13＝0C．5x－3y－13＝0D．5x＋3y－13＝0【解析】设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组5x21＋6y21＝30，5x22＋6y22＝30，两式作差可得：5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)，①又弦的中点为(2，－1)，可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，②将②代入①式可得k＝y1－y2x1－x2＝53，故直线的方程为y＋1＝53(x－2)，化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.【答案】C3．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________.【导学号：18490054】【解析】法一设直线l的方程为y＝x＋t，由y＝x＋t，x24＋y2＝1，消去y，得x24＋(x＋t)2＝1，整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.∵Δ＝64t2－80(t2－1)0，∴－5t5.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝－8t5，x1·x2＝4（t2－1）5.∴|AB|＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]＝26425t2－4×4（t2－1）5＝－32t2＋16025.当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝4105.法二根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入x24＋y2＝1得交点坐标为A255，255和B－255，－255，故|AB|＝4105.【答案】41054．(2013·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．【解】(1)设F(－c，0)，由ca＝33，知a＝3c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有（－c）2a2＋y2b2＝1，解得y＝±6b3，于是26b3＝433，解得b＝2，又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组y＝k（x＋1），x23＋y22＝1，消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.可得x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC→·DB→＋AD→·CB→＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)·(3－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋2k2＋122＋3k2.由已知得6＋2k2＋122＋3k2＝8，解得k＝±2.