高中数学人教A版选修22课时训练11变化率与导数111112Word版含答案

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为r1－r01－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1L增加到2L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为r2－r12－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.跟踪演练1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2Δx＝6x0·Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.要点二物体运动的瞬时速度例2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝6598s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解令t0＝6598，Δt为增量．则ht0＋Δt－ht0Δt＝－4.9×6598＋Δt2＋6.5×6598＋Δt＋10Δt＋4.9×65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt6549＋Δt＋6.5ΔtΔt＝－4.96549＋Δt＋6.5，∴limΔt→0ht0＋Δt－ht0Δt＝limΔt→0－4.96549＋Δt＋6.5＝0，即运动员在t0＝6598s时的瞬时速度为0m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度v＝ΔsΔt；(3)求limΔt→0ΔsΔt的值，即得t＝t0时的瞬时速度．跟踪演练2一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt.在t＝2s时，瞬时速度为limΔx→0ΔsΔt＝4a，即4a＝8，∴a＝2.要点三函数在某点处的导数例3求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．解Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∵ΔyΔx＝3Δx2＋4ΔxΔx＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3Δx＋4)＝4.规律方法求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－Δx2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．3答案B解析v＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2．函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0fx0＋h－fx0h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2答案C解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴ΔyΔx＝2Δx＋4.4．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.答案－12解析f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx1＋1＋Δx＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)作比求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率fx0＋Δx－fx0Δx中，Δx不可能是()A．大于0B．小于0C．等于0D．大于0或小于0答案C2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析ΔyΔx＝f3－f13－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为()A．－4.8m/sB．－0.88m/sC．0.88m/sD．4.8m/s答案A解析物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．4．设函数f(x)可导，则limΔx→0f1＋3Δx－f13Δx等于()A．f′(1)B．3f′(1)C．13f′(1)D．f′(3)答案A解析limΔx→0f1＋3Δx－f13Δx＝f′(1)．5．已知函数y＝2x＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.答案13解析Δy＝f(1.5)－f(2)＝21.5＋3－22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．答案3解析v初＝s′|t＝0＝limΔx→0s0＋Δt－s0Δt＝limΔx→0(3－Δt)＝3.7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．解因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为ΔyΔx＝－8Δx－2Δx2Δx＝－8－2Δx.故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为limΔx→0(－8－2Δx)＝－8.二、能力提升8.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A．甲B．乙C．相同D．不确定答案B解析在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)W2(t0－Δt)，即W1t0－W1t0－ΔtΔtW2t0－W2t0－ΔtΔt，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.答案2.12.001解析∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．答案2解析由导数的定义，得f′(0)＝limΔx→0fΔx－f0Δx＝limΔx→0aΔx2＋bΔx＋c－cΔx＝limΔx→0[a·(Δx)＋b]＝b＞0.又Δ＝b2－4ac≤0a0，∴ac≥b24，∴c0.∴f1f′0＝a＋b＋cb≥b＋2acb≥2bb＝2.11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．解Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.∴f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0aΔx2＋2aΔxΔx＝limΔx→0(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.三、探究与创新13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．解由导数的定义知，f′(x)＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，g′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.