高中数学人教A版选修22课时训练12导数的计算121122Word版含答案

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x2f(x)＝xf′(x)＝12x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a0，且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02013x＋Δx2－2013x2x＋Δx－x＝limΔx→02013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2013x2Δx＝limΔx→04026x·Δx＋2013Δx2Δx＝limΔx→0(4026x＋2013Δx)＝4026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝limΔx→0x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋bΔx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)y＝sinπ3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝4x3′＝x34′＝34x－14＝344x；(5)y′＝(log3x)′＝1xln3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝12x；(3)y＝xx；(4)y＝log13x.解(1)y′＝8x7；(2)y′＝12xln12＝－12xln2；(3)∵y＝xx＝x32，∴y′＝32x12；(4)y′＝1xln13＝－1xln3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线y＝sinx上点Pπ6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲线在点Pπ6，12处的切线斜率是：y′|x＝π6＝cosπ6＝32.∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y－12＝－23x－π6，即2x＋3y－32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M12，14.∴所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()A．0B．2xC．6D．9答案C解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于()A.36B．0C．12xD．32答案A解析∵f′(x)＝(x)′＝12x，∴f′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.0，π4∪3π4，πB．[0，π)C．π4，3π4D．0，π4∪π2，3π4答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈0，π4∪3π4，π.4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案12e2解析∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S△＝12×1×||－e2＝12e2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为()①y＝ln2，则y′＝12；②y＝1x2，则y′|x＝3＝－227；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝1xln2.A．0B．1C．2D．3答案D解析①y＝ln2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为()A.12，2B．12，2或－12，－2C．－12，－2D．12，－2答案B解析y′＝1x′＝－1x2＝－4，x＝±12，故选B.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4B．－4C．5D．－5答案A解析f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定答案B解析∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x20＝1，得x0＝±33，即在点33，39和点－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y＝9x在点M(3,3)处的切线方程是________．答案x＋y－6＝0解析∵y′＝－9x2，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.6．若曲线y＝x－12在点a，a－12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.答案64解析∵y＝x－12，∴y′＝－12x－32，∴曲线在点a，a－12处的切线斜率k＝－12a－32，∴切线方程为y－a－12＝－12a－32(x－a)．令x＝0得y＝32a－12；令y＝0得x＝3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12·3a·32a－12＝94a12＝18，∴a＝64.7．求下列函数的导数：(1)y＝5x3；(2)y＝1x4；(3)y＝－2sinx21－2cos2x4；(4)y＝log2x2－log2x.解(1)y′＝5x3′＝x35′＝35x35－1＝35x－25＝355x2.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4x5.(3)∵y＝－2sinx21－2cos2x4＝2sinx22cos2x4－1＝2sinx2cosx2＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝1x·ln2.二、能力提升8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.1eB．－1eC．－eD．e答案D解析y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝kx0y0＝ex0k＝ex0.∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.9．曲线y＝lnx在x＝a处的切线倾斜角为π4，则a＝________.答案1解析y′＝1x，∴y′|x＝a＝1a＝1，∴a＝1.10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．答案22解析根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，g′(x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋π2，k∈Z.12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点坐标为12，14，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为728.三、探究与创新13．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2014(x)．解f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，∴f2014(x)＝f2(x)＝－sinx．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则法则语言叙述[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上