2.1.2演绎推理[学习目标]1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.[知识链接]1.演绎推理的结论一定正确吗?答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论就一定正确.2.如何分清大前提、小前提和结论?答在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断,这与平时我们解答问题中的思考是一样的,即先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义.例如,平行四边形对角线互相平分,这是一般情况;矩形是平行四边形,这是特例;矩形对角线互相平分,这是特例具有一般意义.3.演绎推理一般是怎样的模式?答“三段论”是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.[预习导引]1.演绎推理含义从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断S是P要点一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾;(2)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除;(3)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数.解(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃,小前提水会沸腾.结论(2)一切奇数都不能被2整除,大前提2100+1是奇数,小前提2100+1不能被2整除.结论(3)三角函数都是周期函数,大前提y=tanα是三角函数,小前提y=tanα是周期函数.结论规律方法用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式:(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行;(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;(4)等差数列的通项公式具有形式an=pn+q(p,q是常数),数列1,2,3,…,n是等差数列,所以数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q的形式.解(1)大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;小前提:海王星是太阳系里的大行星;结论:海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.(2)大前提:所有导体通电时发热;小前提:铁是导体;结论:铁通电时发热.(3)大前提:一次函数都是单调函数;小前提:函数y=2x-1是一次函数;结论:y=2x-1是单调函数.(4)大前提:等差数列的通项公式具有形式an=pn+q;小前提:数列1,2,3,…,n是等差数列;结论:数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q的形式.要点二演绎推理的应用例2正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D、E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.(1)求证:A1B⊥AD;(2)求证:CE∥平面AB1D.证明(1)连接BD.∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,∴A1ABB1为正方形,∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中点,∴△A1C1D≌△BCD,∴A1D=BD,∵G为A1B的中点,∴A1B⊥DG,又∵DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D.又∵AD⊂平面AB1D,∴A1B⊥AD.(2)连接GE,∵EG∥A1A,∴GE⊥平面ABC.∵DC⊥平面ABC,∴GE∥DC,∵GE=DC=12a,∴四边形GECD为平行四边形,∴CE∥GD.又∵CE⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D,∴CE∥平面AB1D.规律方法(1)应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.跟踪演练2求证:函数y=2x-12x+1是奇函数,且在定义域上是增函数.证明y=2x+1-22x+1=1-22x+1,所以f(x)的定义域为R.f(-x)+f(x)=1-22-x+1+1-22x+1=2-22x+1+22-x+1=2-22x+1+2·2x2x+1=2-22x+12x+1=2-2=0.即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.任取x1,x2∈R,且x1x2.则f(x1)-f(x2)=1-22x1+1-1-22x2+1=212x2+1-12x1+1=2·2x1-2x22x2+12x1+1.由于x1x2,从而2x12x2,2x1-2x20,所以f(x1)f(x2),故f(x)为增函数.要点三合情推理、演绎推理的综合应用例3如图所示,三棱锥A-BCD的三条侧棱AB,AC,AD两两互相垂直,O为点A在底面BCD上的射影.(1)求证:O为△BCD的垂心;(2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明.(1)证明∵AB⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A,∴AD⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC.∴AD⊥BC,又∵AO⊥平面BCD,AO⊥BC,∵AD∩AO=A,∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥DO,同理可证CD⊥BO,∴O为△BCD的垂心.(2)解猜想:S2△ABC+S2△ACD+S2△ABD=S2△BCD.证明:连接DO并延长交BC于E,连结AE,由(1)知AD⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,∴AD⊥AE,又AO⊥ED,∴AE2=EO·ED,∴12BC·AE2=12BC·EO·12BC·ED,即S2△ABC=S△BOC·S△BCD.同理可证:S2△ACD=S△COD·S△BCD,S2△ABD=S△BOD·S△BCD.∴S2△ABC+S2△ACD+S2△ABD=S△BCD·(S△BOC+S△COD+S△BOD)=S△BCD·S△BCD=S2△BCD.规律方法合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法,而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪演练3已知命题:“若数列{an}是等比数列,且an0,则数列bn=na1a2…an(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.解类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{an}是等差数列,则数列bn=a1+a2+…+ann也是等差数列.证明如下:设等差数列{an}的公差为d,则bn=a1+a2+…+ann=na1+nn-1d2n=a1+d2(n-1),所以数列{bn}是以a1为首项,d2为公差的等差数列.1.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{an}中,a1=1,an=12an-1+1an-1(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式答案A解析A是演绎推理,B、D是归纳推理,C是类比推理.2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),又y=log13x是对数函数(小前提),所以y=log13x是增函数(结论).”下列说法正确的是()A.大前提错误导致结论错误B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提都错误导致结论错误答案A解析y=logax是增函数错误.故大前提错.3.把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提:________;小前提:________;结论:________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y=x2+x+1是二次函数函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线4.“如图,在△ABC中,ACBC,CD是AB边上的高,求证:∠ACD∠BCD”.证明:在△ABC中,因为CD⊥AB,ACBC,①所以ADBD,②于是∠ACD∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)答案③解析由ADBD,得到∠ACD∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中,大边对大角”,小前提是“ADBD”,而AD与BD不在同一三角形中,故③错误.1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法;只要前提和推理形式正确,通过演绎推理得到的结论一定正确.2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础达标1.下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤答案D解析根据归纳推理,演绎推理,类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确.2.《论语·学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是()A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.一次三段论答案C解析这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案C解析由于函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确.4.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案B解析利用三段论分析:大前提:矩形都是对角线相等的四边形;小前提:四边形ABCD是矩形;结论:四边形ABCD的对角线相等.5.三段论:“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校;②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校;③小宏在2013年的高考中正常发挥”中,“小前提”是________(填序号).答案③解析在这个推理中,②是大前提,③是小前提,①是结论.6.在求函数y=log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是当a有意义时,a≥0;小前提是log2x-2有意义;结论是________.答案y=log2x-2的定义域是[4,+∞)解析由大前提知log2x-2≥0,解得x≥4.7.用三段论证明:直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提),而直角三角形是三角形(小前提),所以直角三角形内角之和为180°(结论).设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B,则有∠A+∠B+90°=180°,因为等量减等量差相等(大前提),(∠A+∠B+90°)-90°=180°-90°(小前提),所以∠A+∠B=90°(结论).二、能力提升8.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S)是9的倍数(M),故某奇