高中数学人教A版选修22课时训练22直接证明与间接证明221Word版含答案

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2．必修五中基本不等式a＋b2≥ab(a0，b0)是怎样证明的？答要证a＋b2≥ab，只需证a＋b≥2ab，只需证a＋b－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导引]1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一综合法的应用例1在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π3.所以△ABC为等边三角形．规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明法一∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.法二∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0，∴(a＋b)1a＋1b≥4.又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.法三1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．要点二分析法的应用例2设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．证明当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．当a＋b0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．规律方法用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明要证ab＋ba≥a＋b，只要证aa＋bb≥ab·(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，因为a，b是正实数，即证a＋b－ab≥ab，也就是要证a＋b≥2ab，即(a－b)2≥0.该式显然成立，所以ab＋ba≥a＋b.要点三综合法和分析法的综合应用例3已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc.证明要证明：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2logx(abc)．由已知0x1，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.由公式a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．规律方法综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．跟踪演练3设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：ax＋cy＝2.证明由已知条件得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要证ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，只要证2ay＋2cx＝4xy.由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．1．已知yx0，且x＋y＝1，那么()A．xx＋y2y2xyB．2xyxx＋y2yC．xx＋y22xyyD．x2xyx＋y2y答案D解析∵yx0，且x＋y＝1，∴设y＝34，x＝14，则x＋y2＝12，2xy＝38，∴x2xyx＋y2y，故选D.2．欲证2－36－7成立，只需证()A．(2－3)2(6－7)2B．(2－6)2(3－7)2C．(2＋7)2(3＋6)2D．(2－3－6)2(－7)2答案C解析根据不等式性质，ab0时，才有a2b2，∴只需证：2＋76＋3，只需证：(2＋7)2(3＋6)2.3．求证：1log519＋2log319＋3log2192.证明因为1logba＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360log19361＝2，所以1log519＋2log319＋3log2192.4．已知1－tanα2＋tanα＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．证明要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证cosα－sinαcosα＋sinα＝3，只需证1－tanα1＋tanα＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－12，∵1－tanα2＋tanα＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础达标1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若ab，则ac2bc2B．若acbc，则abC．若a3b3且ab0，则1a1bD．若a2b2且ab0，则1a1b答案C解析对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c0，则B不成立，B错；对于C：若a3b3且ab0，则a0b0，所以1a1b，故C对；对于D：若a0b0，则D不成立．2．A、B为△ABC的内角，AB是sinAsinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理asinA＝bsinB，又A、B为三角形的内角，∴sinA0，sinB0，∴sinAsinB⇔2RsinA2RsinB⇔ab⇔AB.3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案B解析若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤a2＋b22B．ab1a2＋b22C．aba2＋b221D．a2＋b22ab1答案B解析因为a≠b，故a2＋b22ab.又因为a＋b＝22ab，故ab1，a2＋b22＝a＋b2－2ab2＝2－ab1，即a2＋b221ab.5．要证明3＋725，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法6．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为________．答案acb解析∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－360，∴ac.∵cb＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c＞b.7．设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b0，所以a－b≥0,3a2－2b20，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b0.∴a－b≥0,3a2－2b22a2－2b2≥0，∴上式成立．二、能力提升8．设0x1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是()A．aB．bC．cD．不能确定答案C解析∵b－c＝(1＋x)－11－x＝1－x2－11－x＝－x21－x0，∴bc.又∵b＝1＋x2x＝a，∴abc.9．已知a，b为非零实数，则使不等式：ab＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．ab0B．ab0C．a0，b0D．a0，b0答案C解析∵ab与ba同号，由ab＋ba≤－2，知ab0，ba0，即ab0.又若ab0，则ab0，ba0.∴ab＋ba＝－－ab＋－ba≤－2－ab·－ba＝－2，综上，ab0是ab＋ba≤－2成立的充要条件，∴a0，b0是ab＋ba≤－2成立的一个充分而不必要条件．10．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案对角线互相垂直解析本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．11．已知a＞0，b＞0，1b－1a＞1.求证：1＋a＞11－b.证明要证1＋a＞11－b成立，只需证1＋a＞11－b，只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋