高中数学人教A版选修22课时训练23数学归纳法一Word版含答案

2.3数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[知识链接]1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝an1＋an(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答a1＝1，a2＝12，a3＝13，a4＝14.猜想数列的通项公式为an＝1n.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答(1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．[预习导引]1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．要点一正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化例1已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．答案2k解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．规律方法在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．答案13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∴f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.要点二证明与自然数n有关的等式例2已知n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.证明(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即：1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－1－12k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋1＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋12k＋1＝右边；所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知对一切n∈N*等式都成立．规律方法(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；(2)用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．跟踪演练2用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，1－141－191－116·…·1－1n2＝n＋12n.证明(1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n＝2时等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即1－141－191－116…1－1k2＝k＋12k，那么当n＝k＋1时，1－141－191－116…1－1k21－1k＋12＝k＋12k·1－1k＋12＝k＋12－12kk＋1＝k＋22k＋1＝k＋1＋12k＋1.∴当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．要点三证明与数列有关的问题例3某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．解(1)已知a1＝1，由题意得a1·a2＝22，∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝3222.同理可得a4＝4232，a5＝5242.因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：an＝1n＝1，n2n－12n≥2，下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝n2n－12.①当n＝2时，a2＝222－12＝22，所以等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝k2k－12，则当n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2.∴ak＋1＝k＋12a1·a2·…·ak－1·ak＝k＋12k－12·k－12[k＋1－1]2＝k＋12[k＋1－1]2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是an＝n2n－12，∴an＝1n＝1，n2n－12n≥2.规律方法(1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．跟踪演练3数列{an}满足：a1＝16，前n项和Sn＝nn＋12an，(1)写出a2，a3，a4；(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．解(1)令n＝2，得S2＝2×2＋12a2，即a1＋a2＝3a2，解得a2＝112.令n＝3，得S3＝3×3＋12a3，即a1＋a2＋a3＝6a3，解得a3＝120.令n＝4，得S4＝4×4＋12a4，即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，解得a4＝130.(2)由(1)的结果猜想an＝1n＋1n＋2，下面用数学归纳法给予证明：①当n＝1时，a1＝16＝11＋11＋2，结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝1k＋1k＋2，则当n＝k＋1时，Sk＝k·k＋12ak，①Sk＋1＝k＋1k＋22ak＋1，②②与①相减得ak＋1＝k＋1k＋22ak＋1－k·k＋12ak，整理得ak＋1＝k＋1k＋3ak＝k＋1k＋3·1k＋1k＋2＝1k＋2k＋3＝1[k＋1＋1][k＋1＋2]，即当n＝k＋1时结论也成立．由①、②知对于n∈N*，上述结论都成立．1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确答案C解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝1－a2n＋21－a(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为()A．1＋aB．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案C解析将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．答案未用归纳假设解析本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．当n∈N*时，Sn＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，Tn＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n，(1)求S1，S2，T1，T2；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．解(1)∵当n∈N*时，Sn＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，Tn＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n.∴S1＝1－12＝12，S2＝1－12＋13－14＝712，T1＝11＋1＝12，T2＝12＋1＋12＋2＝712.(2)猜想Sn＝Tn(n∈N*)，即1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，已证S1＝T1，②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k，则Sk＋1＝Sk＋12k＋1－12k＋1＝Tk＋12k＋1－12k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1－12k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋1＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋12k＋1＋12k＋1＝Tk＋1.由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出()A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立答案B2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对答案B解析由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步验证n等于()A．1B．2C．3D．0答案C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则n＝1时f(n)是()A．1B．13C．1＋12＋13D．以上答案均不正确答案C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应