高中数学人教A版选修22课时训练32复数代数形式的四则运算322Word版含答案

3.2.2复数代数形式的乘除运算[学习目标]1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．[知识链接]写出下列各小题的计算结果：(1)(a±b)2＝________；(2)(3a＋2b)(3a－2b)________；(3)(3a＋2b)(－a－3b)________．(4)(x－y)÷(x＋y)________．答案(1)a2±2ab＋b2(2)9a2－4b2(3)－3a2－11ab－6b2(4)x－y[预习导引]1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.要点一复数乘除法的运算例1计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.规律方法(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．(2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.跟踪演练1计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.例2计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)1＋i1－i6＋2＋3i3－2i.解(1)(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i3－4i＝1＋2i3＋4i3－4i3＋4i＝－5＋10i25＝－15＋25i；(2)原式＝1＋i226＋2＋3i3＋2i32＋22＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.规律方法复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．跟踪演练2计算：(1)7＋i3＋4i；(2)－1＋i2＋i－i.解(1)7＋i3＋4i＝7＋i3－4i3＋4i3－4i＝25－25i25＝1－i；(2)－1＋i2＋i－i＝－3＋i－i＝－3＋i·i－i·i＝－1－3i.要点二共轭复数及其应用例3已知复数z满足：z·z＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·z＝a2＋b2，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a2＋b2－2b＝82a＝6，解得a＝3b＝1，∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.规律方法本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪演练3已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi且|z|＝a2＋b2＝1，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②由①②联立，解得a＝45，b＝35，或a＝－45，b＝－35.所以z＝45－35i，或z＝－45＋35i.1．复数－i＋1i等于()A．－2iB．12iC．0D．2i答案A解析－i＋1i＝－i－i2i＝－2i，选A.2．(2013·江西)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A．－2iB．2iC．－4iD．4i答案C解析本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算．因为M∩N＝{4}，所以zi＝4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，zi＝－b＋ai，由zi＝4，利用复数相等，得a＝0，b＝－4.故选C.3．若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)z等于()A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．3答案A解析(1＋z)·z＝(2＋i)·(1＋i)＝(2×1－1)＋(2＋1)i＝1＋3i.4．设复数z的共轭复数是z，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t等于()A.34B．43C．－43D．－34答案A解析∵z2＝t＋i，∴z2＝t－i.z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·z2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝34.5．复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析因为z＝2－i2＋i＝2－i25＝3－4i5，故复数z对应的点在第四象限，选D.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.一、基础达标1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A．－iB．iC．－1D．1答案A解析z＝1i＝－i.2．i为虚数单位，1i＋1i3＋1i5＋1i7等于()A．0B．2iC．－2iD．4i答案A解析1i＝－i，1i3＝i，1i5＝－i，1i7＝i，∴1i＋1i3＋1i5＋1i7＝0.3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－1答案D解析∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴b＝－1a＝1.4．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B解析i1＋i＋(1＋3i)2＝12＋12i＋(－2＋23i)＝－32＋23＋12i，对应点－32，23＋12在第二象限．5．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．答案1解析由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－3＋2ii－1＝2＋3i－1＝1＋3i.6．复数2i－1＋3i的虚部是________．答案－12解析原式＝2i－1－3i1＋3＝23－2i4＝32－12i，∴虚部为－12.7．计算：(1)2＋2i1－i2＋21＋i2010；(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．解(1)2＋2i1－i2＋21＋i2010＝2＋2i－2i＋22i1005＝i(1＋i)＋1i1005＝－1＋i＋(－i)1005＝－1＋i－i＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.二、能力提升8．(2013·新课标)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i答案A解析因为复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i.9．(2013·山东)若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i答案D解析由(z－3)(2－i)＝5，得z＝52－i＋3＝52＋i2－i2＋i＋3＝52＋i5＋3＝2＋i＋3＝5＋i.所以z＝5－i，选D.10．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于________．答案－2i解析设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z＋21－i＝bi＋21－i＝bi＋21＋i1－i1＋i＝2－b＋b＋2i2＝2－b2＋b＋22i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.11．(2013·山东聊城期中)已知复数z＝1＋i2＋31－i2＋i，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值．解由z＝1＋i2＋31－i2＋i，得z＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i，又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.12．已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3iz＝101－3i，求z.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.又z·z－3iz＝101－3i，∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝101＋3i10，∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，∴a2＋b2＋3b＝1，－3a＝3.∴a＝－1，b＝0，或a＝－1，b＝－3.∴z＝－1，或z＝－1－3i.三、探究与创新13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？解(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴b＋c＝02＋b＝0，得b＝－2c＝2.∴b、c的值为b＝－2，c＝2.(2)方程为x2－2x＋2＝0.把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．