高中数学人教A版选修22课时训练章末检测第三章数系的扩充和复数的引入Word版含答案

章末检测一、选择题1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈SB．i2∈SC．i3∈SD．2i∈S答案B2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析因为z1＝z2，所以m2＋m＋1＝3m2＋m－4＝－2，解得m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．3．(2013·天津改编)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则m＋nim－ni＝()A．－1B．1C．－iD．i答案D解析由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，∴m＝1且n＝1.则m＋nim－ni＝1＋i1－i＝1＋i22＝i.4．已知a是实数，a－i1＋i是纯虚数，则a等于()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析a－i1＋i＝a－i1－i1＋i1－i＝a－1－a＋1i2是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i答案B解析∵(x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i，∴y＝1，x＝2，∴x＋yi＝2＋i.6．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为()A．p＝－4，q＝5B．p＝4，q＝5C．p＝4，q＝－5D．p＝－4，q＝－5答案A解析由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4B．－45C．4D．45答案D解析因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝|4＋3i|3－4i＝53－4i＝53＋4i25＝35＋45i，故z的虚部等于45，故选D.8．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是()A．－15B．3C．－3D．15答案C解析1＋7i2－i＝1＋7i2＋i5＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.9．(2013·广东)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A．(2,4)B．(2，－4)C．(4，－2)D．(4,2)答案C解析z＝2＋4ii＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.10．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是()A．2B．3C．4D．无数个答案B解析f(n)有三个值0,2i，－2i.二、填空题11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．答案(3,4)解析∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴m2－4m0m2－m－60，解得3m4.12．(2013·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.答案1＋2i解析由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，即a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈∁CR，则必有2x－1＝y1＝－3－y；②2＋i1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝1i，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤解析由y∈∁CR，知y是虚数，则2x－1＝y1＝－3－y不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝1i3＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．14．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2＝x2类比得到复数z的性质|z|2＝z2；③已知a，b，∈R，若a－b＞0，则a＞b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是________．答案①④三、解答题15．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？解(1)要使复数z为实数，需满足m2－2m－20m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足m2－2m－2＝1m2＋3m＋2≠0，解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．16．设f(n)＝1＋i1－in＋1－i1＋in(n∈N)，求集合{x|x＝f(n)}中元素的个数．解∵1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，∴f(n)＝in＋(－i)n.设k∈N.当n＝4k时，f(n)＝2，当n＝4k＋1时，f(n)＝i4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0，当n＝4k＋2时，f(n)＝i4k·i2＋(－i)4k·(－i)2＝－2，当n＝4k＋3时，f(n)＝i4k·i3＋(－i)4k·(－i)3＝0，∴{x|x＝f(n)}中有三个元素．17．(2013·山东德州期中)已知z＝1＋i，a，b为实数．(1)若ω＝z2＋3z－4，求|ω|；(2)若z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求a，b的值．解(1)因为ω＝z2＋3z－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，|ω|＝－12＋－12＝2.(2)由条件z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，得1＋i2＋a1＋i＋b1＋i2－1＋i＋1＝1－i.即a＋b＋a＋2ii＝1－i∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，∴a＋b＝1a＋2＝1，解得a＝－1b＝2.18．设z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z11＋z1，求证：ω为纯虚数．(1)解设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋1z1＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i.因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－12≤a≤12，即z1的实部的取值范围是－12，12.(2)证明ω＝1－z11＋z1＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi1＋a2＋b2＝－ba＋1i.因为a∈[－12，12]，b≠0，所以ω为纯虚数．模块检测模块检测一、选择题1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是()A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理答案B解析由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.2．(2013·浙江)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)()A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i答案B解析(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B.3．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于()A．10B．10ln10＋lgeC．10ln10＋ln10D．11ln10答案B解析∵f′(x)＝10xln10＋1xln10，∴f′(1)＝10ln10＋lge，故选B.4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a20，那么这个演绎推理出错在()A．大前提B．小前提C．推理形式D．没有出错答案A5．观察下列数表规律则数2007的箭头方向是()A.2007→↑B．↓2007→C．↑→2007D．→2007↓答案D解析因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2007在上行，则2007＝3＋(n－1)·4⇒n＝502∈N*.故2007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→an，故选D.6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为()A.a＝3b＝－3或a＝－4b＝11B．a＝－4b＝11C．a＝－1b＝5D．以上都不对答案B解析∵f′(x)＝3x2－2ax－b，∴3－2a－b＝01－a－b＋a2＝10，解得a＝3b＝－3或a＝－4b＝11.经检验a＝3，b＝－3不合题意，应舍去．7．给出下列命题：①badx＝abdt＝b－a(a，b为常数且ab)；②0－1x2dx＝01x2dx；③曲线y＝sinx，x∈[0,2π]与直线y＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析abdt＝b－a≠badx＝a－b，故①错．y＝x2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S＝20πsinxdx＝4.故③错．故选B.8．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AGGD＝2类比AOOM＝3，故选C.9．曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B．4e2C．2e2D．e2答案D解析∵y′＝12e12x，∴y＝e12x在(4，e2)处的切线斜率为12e2.∴过点(4，e2)的切线方程为y＝12e2x－e2，它与x轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0，－e2)，∴S＝12×2×e2＝e2.故选D.10．(2013·湖北)已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则()A．f(x1)＞0，f(x2)＞－12B．f(x1)＜0，f(x2)＜－12C．f(x1)＞0，f(x2)＜－12D．f(x1)＜0，f(x2)＞－12答案D解析函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则f′(x)＝lnx－2ax＋1有两个零点，即方程lnx＝2ax－1有两个根，由数形结合易知0＜a＜12且0＜x1＜1＜x2.因为在(x1，x2)上f(x)递增，所以f(x1)＜f(1)＜f(x2)，即f(x1)＜－a＜f(x2)，所以f(x1)＜0，f(x2)＞－12.故选D.二、填空题11．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________.答案i解析设z＝a＋bi，则(a＋bi)(1＋i)＝1－i，即a－b＋(a＋b)i＝1－i.由a－b＝1，a＋b＝－1，解得a＝0，b＝－1.所以z＝－i，z＝i.12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________．答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为S632解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为S612，通过类比可知，表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为S632.13．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是________．答案[3,12]解析因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)＝3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且