学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于()A.(x-1)3B.(x-2)3C.x3D.(x+1)3【解析】S=[(x-1)+1]3=x3.【答案】C2.已知x-1x7的展开式的第4项等于5,则x等于()A.17B.-17C.7D.-7【解析】T4=C37x4-1x3=5,则x=-17.【答案】B3.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A.3B.6C.9D.12【解析】x3=[2+(x-2)]3,a2=C23×2=6.【答案】B4.使3x+1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7【解析】Tr+1=Crn(3x)n-r1xxr=Crn3n-rxn-52r,当Tr+1是常数项时,n-52r=0,当r=2,n=5时成立.【答案】B5.(x2+2)1x2-15的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3【解析】二项式1x2-15展开式的通项为:Tr+1=Cr51x25-r·(-1)r=Cr5·x2r-10·(-1)r.当2r-10=-2,即r=4时,有x2·C45x-2·(-1)4=C45×(-1)4=5;当2r-10=0,即r=5时,有2·C55x0·(-1)5=-2.∴展开式中的常数项为5-2=3,故选D.【答案】D二、填空题6.(2016·安徽淮南模拟)若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为________.【解析】由题意知,C2n=C6n,∴n=8.∴Tk+1=Ck8·x8-k·1xk=Ck8·x8-2k,当8-2k=-2时,k=5,∴1x2的系数为C58=56.【答案】567.设二项式x-ax6(a0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B.若B=4A,则a的值是________.【解析】对于Tr+1=Cr6x6-r(-ax-12)r=Cr6(-a)r·x6-32r,B=C46(-a)4,A=C26(-a)2.∵B=4A,a0,∴a=2.【答案】28.9192被100除所得的余数为________.【解析】法一:9192=(100-9)92=C092·10092-C192·10091·9+C292·10090·92-…+C9292992,展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以100的余数.∵992=(10-1)92=C092·1092-C192·1091+…+C9092·102-C9192·10+1,前91项均能被100整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前面的数中分离出1000,结果为1000-919=81,故9192被100除可得余数为81.法二:9192=(90+1)92=C092·9092+C192·9091+…+C9092·902+C9192·90+C9292.前91项均能被100整除,剩下两项和为92×90+1=8281,显然8281除以100所得余数为81.【答案】81三、解答题9.化简:S=1-2C1n+4C2n-8C3n+…+(-2)nCnn(n∈N*).【解】将S的表达式改写为:S=C0n+(-2)C1n+(-2)2C2n+(-2)3C3n+…+(-2)nCnn=[1+(-2)]n=(-1)n.∴S=(-1)n=1,n为偶数时,-1,n为奇数时.10.(2016·淄博高二检测)在2x-1x6的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数;(2)含x2的项.【解】(1)第3项的二项式系数为C26=15,又T3=C26(2x)4-1x2=24·C26x,所以第3项的系数为24C26=240.(2)Tk+1=Ck6(2x)6-k-1xk=(-1)k26-kCk6x3-k,令3-k=2,得k=1.所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.[能力提升]1.(2016·吉林长春期末)若C1nx+C2nx2+…+Cnnxn能被7整除,则x,n的值可能为()A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5【解析】C1nx+C2nx2+…+Cnnxn=(1+x)n-1,分别将选项A、B、C、D代入检验知,仅C适合.【答案】C2.已知二项式x+13xn的展开式中第4项为常数项,则1+(1-x)2+(1-x)3+…+(1-x)n中x2项的系数为()A.-19B.19C.20D.-20【解析】x+13xn的通项公式为Tr+1=Crn(x)n-r·13xr=Crnxn2-5r6,由题意知n2-5×36=0,得n=5,则所求式子中的x2项的系数为C22+C23+C24+C25=1+3+6+10=20.故选C.【答案】C3.对于二项式1x+x3n(n∈N*),有以下四种判断:①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是________.【解析】二项式1x+x3n的展开式的通项公式为Tr+1=Crnx4r-n,由通项公式可知,当n=4r(r∈N*)和n=4r-1(r∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.【答案】①与④4.求x2+1x+25的展开式的常数项.【导学号:97270023】【解】法一:由二项式定理得x2+1x+25=x2+1x+25=C05·x2+1x5+C15·x2+1x4·2+C25·x2+1x3·(2)2+C35·x2+1x2·(2)3+C45·x2+1x·(2)4+C55·(2)5.其中为常数项的有:C15x2+1x4·2中的第3项:C15C24·122·2;C35·x2+1x2·(2)3中的第2项:C35C12·12·(2)3;展开式的最后一项C55·(2)5.综上可知,常数项为C15C24·122·2+C35C12·12·(2)3+C55·(2)5=6322.法二:原式=x2+22x+22x5=132x5·[(x+2)2]5=132x5·(x+2)10.求原式中展开式的常数项,转化为求(x+2)10的展开式中含x5的项的系数,即C510·(2)5,所以所求的常数项为C510·2532=6322.