高中数学人教A版选修23第一章计数原理13132学业分层测评Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是()A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项【解析】第6项的二项式系数为C520，又C1520＝C520，所以第16项符合条件．【答案】B2．(2016·吉林一中期末)已知x2＋1xn的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是()A．5B．20C．10D．40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝Cr5x2(5－r)·x－r＝Cr5x10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是C35＝10，故选C.【答案】C3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()【导学号：97270026】A．2nB.3n－12C．2n＋1D.3n＋12【解析】令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，∴a0＋a2＋…＋a2n＝3n＋12.故选D.【答案】D4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则ba的值为()A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】a＝C48＝70，设b＝Cr82r，则Cr82r≥Cr－182r－1，Cr82r≥Cr＋182r＋1，得5≤r≤6，所以b＝C6826＝C2826＝7×28，所以ba＝1285.故选A.【答案】A5．在(x－2)2010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于()A．23015B．－23014C．23014D．－23008【解析】因为S＝x－22010－x＋220102，当x＝2时，S＝－230152＝－23014.【答案】B二、填空题6．若(1－2x)2016＝a0＋a1x＋…＋a2016x2016(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a201622016的值为________．【解析】令x＝0，得a0＝1.令x＝12，得a0＋a12＋a222＋…＋a201622016＝0，所以a12＋a222＋…＋a201622016＝－1.【答案】－17．若n是正整数，则7n＋7n－1C1n＋7n－2C2n＋…＋7Cn－1n除以9的余数是________．【解析】7n＋7n－1C1n＋7n－2C2n＋…＋7Cn－1n＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝C0n9n(－1)0＋C1n9n－1(－1)1＋…＋Cnn90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.【答案】7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1­3­5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项Ck－1n，Ckn，Ck＋1n，有Ck－1nCkn＝34且CknCk＋1n＝45.化简得kn－k＋1＝34，k＋1n－k＝45，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】62三、解答题9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①(2)令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.10．已知14＋2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】由C0n＋C1n＋C2n＝37，得1＋n＋12n(n－1)＝37，得n＝8.14＋2x8的展开式共有9项，其中T5＝C48144(2x)4＝358x4，该项的二项式系数最大，系数为358.[能力提升]1．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝()A．1B．－1C．2D．－2【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.【答案】A2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图1­3­6所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是()135791113151719……图1­3­6A．91B．101C．106D．103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】B3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】54．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.【导学号：97270027】【解】(1)由已知C1m＋2C1n＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C2m＋22C2n＝mm－12＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)·11－m2－1＝m－2142＋35116.因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.