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学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为()A．4B．8C．28D．64【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C28＝28条公路．【答案】C3．组合数Crn(nr≥1，n，r∈N)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1D.nrCr－1n－1【解析】nrCr－1n－1＝nr·n－1！r－1！n－r！＝n！r！n－r！＝Crn.【答案】D4．满足方程Cx2－x16＝C5x－516的x值为()A．1,3,5，－7B．1,3C．1,3,5D．3,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．【答案】B5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20B．9C．C39D．C24C15＋C25C14【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．【答案】B二、填空题6．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．【解析】原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7315.【答案】73157．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．【答案】108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法．【答案】210三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1Cx5－1Cx6＝710Cx7中的x；(2)解不等式Cm－183Cm8.【解】(1)原式可化为：x！5－x！5！－x！6－x！6！＝7·x！7－x！10·7！，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．(2)由8！m－1！9－m！3×8！m！8－m！，得19－m3m，∴m27－3m，∴m274＝7－14.又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，∴m＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C49＝126个．【答案】D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有()【导学号：97270017】A．140种B．84种C．70种D．35种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．【答案】C3．对所有满足1≤mn≤5的自然数m，n，方程x2＋Cmny2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．【解析】∵1≤mn≤5，所以Cmn可以是C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25，C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程x2＋Cmny2＝1能表示的不同椭圆有6个．【答案】64．证明：Cmn＝nn－mCmn－1.【证明】nn－mCmn－1＝nn－m·n－1！m！n－1－m！＝n！m！n－m！＝Cmn.