高中数学人教A版选修23练习232离散型随机变量的方差Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较【解析】∵D(X甲)D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．【答案】B2．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.【答案】B3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于()A．6B．9C．3D．4【解析】E(X)＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D(X)＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.【答案】A4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝()A.158B.154C.52D．5【解析】两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B10，14，因此D(ξ)＝10×14×1－14＝158.故选A.【答案】A5．已知X的分布列为()X－101P121316则①E(X)＝－13，②D(X)＝2327，③P(X＝0)＝13.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确；D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，故②不正确；③P(X＝0)＝13显然正确．【答案】C二、填空题6．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.【解析】设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得a＝35，b＝15，所以D(ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.【答案】257．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】由独立重复试验的方差公式可以得到D(ξ)＝np(1－p)≤np＋1－p22＝n4，等号在p＝1－p＝12时成立，所以D(ξ)max＝100×12×12＝25，Dξmax＝25＝5.【答案】1258．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96三、解答题9．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．【解】∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)D(X2)．由上可知，A面大钟的质量较好．10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．【解】(1)X的分布列为：X01234P1212011032015∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．[能力提升]1．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C．3D.113【解析】∵E(X)＝23x1＋13x2＝43.∴x2＝4－2x1，D(X)＝43－x12×23＋43－x22×13＝29.∵x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.【答案】C2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ckn23k·13n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()【导学号：97270052】A．8B．12C.29D．16【解析】由题意可知ξ～Bn，23，∴23n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.又D(ξ)＝n×23×1－23＝29×36＝8.【答案】A3．变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．【解析】由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝13，a＋c＝23.又E(ξ)＝－a＋c＝13，∴a＝16，c＝12，故分布列为ξ－101P161312∴D(ξ)＝－1－132×16＋0－132×13＋1－132×12＝59.【答案】594．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2­3­3所示．图2­3­3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.