高中数学人教A版选修41学业分层测评4相似三角形的性质Word版含解析

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­3­32，D，E，F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为14，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是()图1­3­32A.92，1B．9,4C.92，8D.94，16【解析】∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴EF綊12BC，DE綊12AC，DF綊12AB.∴△DFE∽△ABC，且EFBC＝12，∴l△DEFl△ABC＝EFBC＝12.又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝92.又∵S△DEFS△ABC＝EF2BC2＝14，S△DEF＝14，∴S△ABC＝1，故选A.【答案】A2．如图1­3­33，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()图1­3­33A．5B．8.2C．6.4D．1.8【解析】由△CBF∽△CDE，得BFDE＝CBCD，又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∴DE＝3，即BF3＝610，∴BF＝1.8.【答案】D3．如图1­3­34所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()图1­3­34A．1∶3B．1∶9C．1∶15D．1∶16【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.【答案】C4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1­3­35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是()【导学号：07370017】图1­3­35A．50cmB．500cmC．60cmD．600cm【解析】设屏幕上小树的高度为xcm，则10x＝3030＋150，解得x＝60(cm)．【答案】C5．如图1­3­36，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则S△ADES△ABC＝()图1­3­36A.14B.12C.23D.49【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，由S△ADE＝2S△DCE，得ADAB＝23，∴S△ADES△ABC＝49.【答案】D二、填空题6．如图1­3­37，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．图1­3­37【解析】∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴BFAE＝BGGA＝31，∵D为AC中点，∴AECF＝ADDC＝1，∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.【答案】57．如图1­3­38，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.图1­3­38【解析】因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则PDPE＝PEPA，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝6.【答案】68．(2016·湛江高三调研)如图1­3­39，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则ADAB＝________.图1­3­39【解析】∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，∴ADAB2＝S△ADES△ABC＝a29a2＝19，∴ADAB＝13.【答案】13三、解答题9．如图1­3­40，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.图1­3­40(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．【解】(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴S△ABCS△FCD＝BCCD2＝4.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝12BC·AM，BC＝10，∴20＝12×10×AM，∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴DEAM＝BDBM.∵DM＝12DC＝14BC＝52，BM＝BD＋DM，BD＝12BC＝5，∴DE4＝55＋52，∴DE＝83.10．如图1­3­41，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．图1­3­41【解】设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴APAD＝EHBC，∴300－2x300＝x200，解得x＝6007(mm)，2x＝12007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007mm和12007mm.[能力提升]1．如图1­3­42所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()图1­3­42A．1∶3B．1∶4C．1∶2D．2∶3【解析】设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即x2＝1－x1，所以x＝23，于是AFFC＝12.【答案】C2．如图1­3­43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()图1­3­43A．10B．12C．16D．18【解析】∵AB∥EF∥CD，∴AEEC＝ABDC＝2080＝14，∴EFAB＝ECAC＝45，∴EF＝45AB＝45×20＝16.【答案】C3．在△ABC中，如图1­3­44所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________.【导学号：07370018】图1­3­44【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，∴S△ADE＝12S△ABC，∴DEBC2＝12，∴DEm2＝12，∴DE＝22m.【答案】22m4．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下两底分别为10cm、20cm的梯形空地上种植花木．(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后(如图1­3­45阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；图1­3­45(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？【解】(1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMDS△CMB＝ADBC2＝14.∵种植△AMD地带花费160元，∴S△AMD＝1608＝20(m2)，∴S△CMB＝80(m2)．∴△BMC地带的花费为80×8＝640(元)．(2)设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h，∵S△AMD＝12×10h1＝20，∴h1＝4(m)．又∵h1h2＝12，∴h2＝8(m)．∴h＝h1＋h2＝12(m)．∴S梯形ABCD＝12(AD＋BC)h＝12×30×12＝180(m2)，∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80(m2)．∴160＋640＋80×12＝1760(元)，160＋640＋80×10＝1600(元)．∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．