高中数学人教A版选修41学业分层测评7圆内接四边形的性质与判定定理Word版含解析

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2­2­13，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()图2­2­13A．120°B．136°C．144°D．150°【解析】设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°，∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.【答案】C2．如图2­2­14，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为()图2­2­14A．30°B．45°C．50°D．60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝12∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】C3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2D．以上都不对【解析】由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．【答案】B4．如图2­2­15，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于()图2­2­15A.33aB.62aC.12aD.13a【解析】∵AC为BD的垂直平分线，∴AB＝AD＝a，AC⊥BD.∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan30°·AD＝33a.【答案】A5．如图2­2­16所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为()【导学号：07370035】图2­2­16A．4B．3C．2D．1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．【答案】A二、填空题6．如图2­2­17，以AB＝4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB＝60°，则EF＝________.图2­2­17【解析】如图，连接AE.∵AB为圆的直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°.∵∠ACB＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝12AC.∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，∴△CFE∽△CBA，∴EFAB＝CEAC，∵AB＝4，CE＝12AC，∴EF＝2.【答案】27．四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，＝40°，则∠D＝__________.【解析】如图，连接AC.∵＝40°.BC是⊙O的直径，∴∠ACB＝20°，∠BAC＝90°，∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝70°，∴∠D＝180°－∠B＝110°.【答案】110°8．如图2­2­18，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若PBPA＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．图2­2­18【解析】由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P，则△PAD∽△PCB，∴PCPA＝PBPD＝BCAD.又PBPA＝12，PCPD＝13，∴PBPA×PCPD＝12×13，∴PCPA×PBPD＝16，∴BCAD×BCAD＝16，∴BCAD＝66.【答案】66三、解答题9．如图2­2­19，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.图2­2­19(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．【证明】(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE，∠EDF＝∠ECG，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．10．如图2­2­20，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.你能判断出E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．【导学号：07370036】图2­2­20【解】猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上．证明如下：如图，连接OE，OF，OG，OH.在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，OB＝OC＝OA.∵PEBF为正方形，∴BE＝BF＝CG＝AH，∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE＝OF＝OG＝OH.由圆的定义可知：E，F，G，H在以O为圆心的圆上．[能力提升]1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．【答案】B2．如图2­2­21，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交于点F.则sin∠CAE的值为()图2­2­21A.DFADB.CDACC.EFAFD.DEAB【解析】根据圆周角定理，易得∠AEB＝90°，进而可得∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，由锐角三角函数的定义，可得sin∠CAE＝CEAC，由圆内接四边形的性质，可得∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，可得△CDE∽△CBA，则有CEAC＝DEAB，故有sin∠CAE＝DEAB.【答案】D3．如图2­2­22，AB＝10cm，BC＝8cm，CD平分∠ACB，则AC＝__________，BD＝__________.图2­2­22【解析】∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∴BD＝AB22＝52.【答案】6524.如图2­2­23，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．图2­2­23(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．【解】(1)证明：由圆I与边AC相切于点E，得IE⊥AE，结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°.所以四点A，I，H，E共圆．(2)由(1)知四点A，I，H，E共圆，得∠IEH＝∠HAI.在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝12∠B＋12∠A＝12(∠B＋∠A)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C.结合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝12∠C，所以∠IEH＝12∠C.由∠C＝50°，得∠IEH＝25°.