高中数学人教A版选修41学业分层测评8圆的切线的性质及判定定理Word版含解析

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是()A．AB与⊙O相切于直线CD上的点CB．CD经过圆心OC．CD是直径D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O【解析】圆的切线垂直于过切点的半径或直径．【答案】D2．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是()A.533B.536C．10D．5【解析】如图，连接OC，∠PAC＝30°，由圆周角定理知，∠POC＝2∠PAC＝60°，由切线性质知∠OCP＝90°.∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝PCOC.∴OC＝PCtan∠POC＝5tan60°＝533.【答案】A3．如图2­3­13，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是()图2­3­13A．72°B．63°C．54°D．36°【解析】连接OB.∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.【答案】B4.如图2­3­14所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF＝()图2­3­14A．120°B．90°C．60°D．30°【解析】如图所示，连接OE，OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，∴∠EOF＋∠ABC＝180°，∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝12∠EOF＝60°.【答案】C5．如图2­3­15所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝()图2­3­15A．2∶1B．1∶1C．1∶2D．1∶1.5【解析】如图所示，连接OD，OC，则OD⊥AC.∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∵OB＝OD，OC＝OC，∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC.∵ADAC＝12，∴AD＝DC，∴BC＝12AC.又OB⊥BC，∴∠A＝30°，∴OB＝OD＝12AO，∴AOOB＝21.【答案】A二、填空题6.如图2­3­16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C.则⊙O的半径是________．图2­3­16【解析】连接OE，设OE＝r，∵OC＝OE＝r，BC＝12，则BO＝12－r，AB＝122＋52＝13，由△BEO∽△BCA，得BOAB＝OEAC，即12－r13＝r5，解得r＝103.【答案】1037．如图2­3­17，在半径分别为5cm和3cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm.图2­3­17【解析】连接OA，OC，∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∴AC＝12AB.∵在Rt△AOC中，AC＝52－32＝4(cm)，∴AB＝8cm.【答案】88．如图2­3­18所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.图2­3­18【解析】连接OA.∵AP为⊙O的切线，∴OA⊥AP.又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·tan60°＝3.【答案】3三、解答题9.如图2­3­19，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线.【导学号：07370040】图2­3­19【证明】如图，连接OB，OC，OD，设OD交BC于E.因为∠DCB是所对的圆周角，∠BOD是所对的圆心角，∠BCD＝45°，所以∠BOD＝90°.因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，所以∠DOC＝2∠DBC＝30°，从而∠BOC＝120°.因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°.在△OEC中，因为∠EOC＝∠ECO＝30°，所以OE＝EC.在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，所以BE＝2OE＝2EC，所以CEBE＝CDDA＝12，所以AB∥OD，所以∠ABO＝90°，故AB是△BCD的外接圆的切线．10．如图2­3­20，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.图2­3­20(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．【解】(1)证明：在△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°.又∵C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．(2)法一：设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴OCOE＝OPOC，即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.法二：由(1)知PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一．[能力提升]1．如图2­3­21，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于()图2­3­21A.1010B.210C.55D.24【解析】连接BD，则BD⊥AC.∵AD＝DC，∴BA＝BC，∴∠BCA＝45°.∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴∠OBC＝90°.∴sin∠BCO＝OBOC＝OB5OB＝55，cos∠BCO＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin45°cos∠BCO－cos45°sin∠BCO＝22×255－22×55＝1010.【答案】A2．如图2­3­22所示，已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝__________.图2­3­22【解析】AB＝AP2－PB2＝3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝23，∴R＝3.【答案】33．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E，则∠DAC＝__________，DC＝__________.【解析】连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB.∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形，∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°，∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝ACsin30°＝323.【答案】30°3324．如图2­3­23，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB，AC与圆分别相交于点E，F.【导学号：07370041】图2­3­23(1)AE·AB与AF·AC有何关系？请给予证明；(2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图2­3­24(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？图2­3­24【解】(1)AE·AB＝AF·AC.证明：连接DE.∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.又∵BC与⊙O相切于点D，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴ABAD＝ADAE，即AD2＝AB·AE.同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.(2)(1)中的结论仍成立．因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′，则∠AD′B＝90°.∵AD为圆的直径，∴∠AED＝∠AD′B＝90°.又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE，∴ABAD＝AD′AE，∴AB·AE＝AD·AD′.同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.