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模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中只有x个三角形与△ABC相似，则x的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选B由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD，△BCD均与△ABC相似．2．已知：如图，▱ABCD中，EF∥AC交AD，DC于E，F两点，AD，BF的延长线交于点M，则下列等式成立的是()A．AD2＝AE·AMB．AD2＝CF·DCC．AD2＝BC·ABD．AD2＝AE·ED解析：选A在▱ABCD中，∵DF∥AB，∴ADAM＝BFBM.∵DM∥BC，∴BFBM＝CFDC.∵EF∥AC，∴AEAD＝CFDC.∴ADAM＝AEAD，∴AD2＝AE·AM.3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是()A．射影为线段时，线段的长为8B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8D．射影为圆时，圆的直径可能为4解析：选D由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为()A．1B.54C.32D.2解析：选B∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，∴∠APQ＝∠BCP.∴Rt△APQ∽Rt△BCP.∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1.∴APBC＝AQBP.即AQ＝AP·BPBC＝1×34＝34，∴PQ＝AQ2＋AP2＝916＋1＝54.5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB＝12BC，则PAPB等于()A．2B.12C.3D．1解析：选C利用切割线定理得PA2＝PB·PC，又PB＝13PC，∴PA2＝3PB2，∴PAPB＝3.6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于()A．15°B．20°C．25°D．30°解析：选B∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠POC＝2∠A＝70°.∵OC⊥PC，∴∠P＝90°－∠POC＝20°.7.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于()A．30°B．35°C．40°D．45°解析：选C∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO.故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°.又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.8.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②¼AD＝»DB；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是()A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③解析：选D显然①可由△PCD≌△HCD得到；②因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即¼AD＝»DB，②成立；而③连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④不能判定DH是圆的切线，故应选D.9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为()A.35B.45C.12D.22解析：选C如图所示为截面的轴面，则AB＝8，SB＝6，SA＝10，则∠SBA＝π2，cos∠ASB＝35，cos∠BSP＝cos12∠ASB＝1＋cos∠ASB2＝255.∴cos∠SPB＝sin∠BSP＝55.∴e＝cos∠SPBcos∠BSP＝12.10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：①∠B＋∠DAC＝90°，②∠B＝∠DAC，③CDAD＝ACAB，④AB2＝BD·BC.其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有()A．3个B．2个C．1个D．0个解析：选A验证法：①不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，则∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC等于90°；而②中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，则△ABC∽△DAC，又△DAC为直角三角形，所以△ABC为直角三角形；在③中，由CDAD＝ACAB可得△ACD∽△BAD，则∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，所以∠BAD＋∠DAC＝90°；而④中AB2＝BD·BC，即BDAB＝ABBC，∠B为公共角，则△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．所以正确命题有3个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11.(陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF＝3.答案：312．如图，AB是⊙O的直径，¼AD＝¼DE，AB＝10，BD＝8，则cos∠BCE＝________.解析：如图，连接AD.则∠ADB＝90°，且∠DAC＝∠B，所以cos∠BCE＝cos∠DAB＝DAAB＝102－8210＝35.答案：3513.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝________.解析：由于PC切⊙O于点C，由切割线定理得PC2＝PA·PB，∴PA＝PC2PB＝428＝2，∴AB＝PB－PA＝8－2＝6.由于CD⊥AB，且AB为圆O的直径，由垂径定理知CE＝DE，连接OC，在Rt△OCP中，由射影定理，得OC2＝OE·OP，则OE＝OC2OP＝95，∵CE2＝OE·EP＝95×5－95＝95×165，∴CE＝125，∴CD＝245.答案：24514．如图，△ABC中，AD∥BC，连接CD交AB于E，且AE∶EB＝1∶2，过E作EF∥BC交AC于F，若S△ADE＝1，则S△AEF＝________.解析：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE.∴BEAE＝CEDE＝21.∵EF∥AD，∴EFAD＝CEDC＝23.∵△ADE与△AFE的高相同，∴S△AEFS△ADE＝EFAD＝23.∴S△AEF＝23.答案：23三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F.(1)求证：E，F，G，B四点共圆；(2)若GF＝2FA＝4，求线段AC的长．解：(1)证明：如图，连接GB，由AB为圆O的直径可知∠AGB＝90°.又CD⊥AB，所以∠AGB＝∠BEF＝90°.因此E，F，G，B四点共圆．(2)连接BC.由E，F，G，B四点共圆得AF·AG＝AE·AB.又AF＝2，AG＝6，所以AE·AB＝12.因为在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝23.16.(本小题满分12分)如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：(1)∠BFM＝∠PEF；(2)PF2＝PD·PC.证明：(1)连接OE.∵PE切⊙O于点E，∴OE⊥PE.∴∠PEF＋∠FEO＝90°.又∵AB⊥CD，∴∠B＋∠BFM＝90°.又∵∠B＝∠FEO，∴∠BFM＝∠PEF.(2)∵∠EFP＝∠BFM，∴∠EFP＝∠PEF.∴PE＝PF.又∵PE2＝PD·PC，∴PF2＝PD·PC.17.(本小题满分12分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.(1)求证：B，P，E，F四点共圆；(2)若CD＝2，CB＝22，求出由B，P，E，F四点所确定的圆的直径．解：(1)证明：如图，连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以B，P，E，F四点共圆．(2)连接PF，因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝22，所以由切割线定理得CB2＝CD·CE，所以CE＝4，所以DE＝2，则BP＝PE＝1.又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，所以EFBP＝CECB，得EF＝2.在Rt△FEP中，PF＝PE2＋EF2＝3，即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为3.18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DECE＝EFED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DEPE＝EFEA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得：EP＝272.∴PB＝PE－BE＝152，PC＝PE＋EC＝452.由切割线定理得：PA2＝PB·PC，∴PA2＝152×452.∴PA＝1523.