高中数学人教A版选修41章末综合测评2Word版含解析

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()【导学号：07370050】A．42°B．138°C．84°D．42°或138°【解析】弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.【答案】D2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为()图1A．50B．52C．54D．56【解析】由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.【答案】B3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是()图2A．β＝αB．β＝180°－2αC．β＝12(90°－α)D．β＝12(180°－α)【解析】如图所示，分别连接AO1，BO1.根据圆内接四边形的性质定理，可得∠AO1B＋∠ADB＝180°，∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.∵∠ACB＝12∠AO1B，∴β＝12(180°－α)，故选D.【答案】D4.如图3所示，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于()图3A．70°B．110°C．90°D．120°【解析】由题意知，∠D＝∠A＝50°，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝90°－50°＝40°，又∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，∴∠AEB＝∠CBD＋∠ACB＝40°＋70°＝110°.【答案】B5．如图4，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E，若AB＝6，BC＝4，则AE＝()图4A.103B.23C．1D.43【解析】∵MN为⊙O的切线，∴∠BCM＝∠A.∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，∴∠A＝∠EBC.又∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC，∴ABBE＝BCEC.∵AB＝AC，∴BE＝BC，∴64＝4EC.∴EC＝83，∴AE＝6－83＝103.【答案】A6．如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于()图5A．80°B．100°C．120°D．130°【解析】∵∠A＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝100°.∵∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB，∴∠IBC＋∠ICB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝50°，∴∠BIC＝180°－50°＝130°.【答案】D7．如图6，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为()图6A.533B.563C．10D．5【解析】连接OC，则有∠COP＝60°，OC⊥PC，∴PO＝2CO，∴3CO＝5，即CO＝533.【答案】A8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10，PA＝2，PE＝5，则CD和EF分别为()图7A．8和7B．7和415C．7和8D．8和415【解析】∵PA·PB＝PC2，∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.∵PE·PF＝PC2，∴PF＝165，∴EF＝165＋5＝415.【答案】D9．如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC＝()图8A．3B．4C．6D．8【解析】∵AT为⊙O的切线，∴AT2＝AD·AC.∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即DEBC＝AEAC，∴BC＝DE·ACAE＝2×93＝6.【答案】C10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是()图9A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【解析】显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌Rt△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④，不能判定DH是圆的切线，故应选D.【答案】D11.如图10，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为()图10A．1B.22C.3－1D.2【解析】如图，过点B作BB′⊥MN，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P′，即点P在点P′处时，AP＋BP最小．易知B与B′点关于MN对称，依题意∠AON＝60°，则∠B′ON＝∠BON＝30°，所以∠AOB′＝90°，AB′＝OA2＋OB′2＝2.故PA＋PB的最小值为2，故选D.【答案】D12．如图11所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝()图11A．10B．20C．5D．85【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图12【解析】由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.【答案】514．如图13，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图13【解析】由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝r2－CD22＝7－254＝32.【答案】3215.如图14，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．【导学号：07370051】图14【解析】因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.因为AE与圆相切，所以∠EAB＝∠C.所以∠ABC＝∠EAB，所以AE∥BC.又因为AC∥DE，所以四边形AEBC是平行四边形．由切割线定理可得AE2＝EB·ED，于是62＝EB·(EB＋5)，所以EB＝4(负值舍去)，因此AC＝4，BC＝6.又因为△AFC∽△DFB，所以45＝CF6－CF，解得CF＝83.【答案】8316．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，则tan∠COP＝________，△OBC的面积是________．图15【解析】因为PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2＝PA·PB，所以42＝8PA，解得PA＝2.设圆的半径为R，则2＋2R＝8，解得R＝3.在直角△OCP中，tan∠COP＝43，sin∠COP＝45.所以sin∠BOC＝sin∠COP＝45.所以△OBC的面积是12×R2sin∠BOC＝12×32×45＝185.【答案】43185三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：(1)BE·DE＋AC·CE＝CE2；(2)E，F，C，B四点共圆．图16【证明】(1)连接CD，由圆周角性质可知∠ECD＝∠EBA.故△ABE∽△CDE，∴BE∶CE＝AE∶DE，∴BE·DE＋AC·CE＝CE2.(2)∵AB是⊙O的直径，所以∠ECB＝90°，∴CD＝12BE.∵EF⊥BF，∴FD＝12BE，∴E，F，C，B四点与点D等距，∴E，F，C，B四点共圆．18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．图17(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.【解】(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.19．(本小题满分12分)如图18，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：图18(1)CE＝DE；(2)CACE＝PEPB.【证明】(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP.∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CPA＝∠BEP＋∠DPE.∵∠ECD＝∠A＋∠CPA，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE.(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∠PDB＝∠PCE，∴∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴PEPB＝PCPD.同理△PDE∽△PCA，∴PCPD＝CADE.∴PEPB＝CADE.∵DE＝CE，∴CACE＝PEPB.20．(本小题满分12分)如图19，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：图19(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，12OA为半径作圆．图20(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.【证明】(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.在Rt△AOE中，OE＝12AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.22．(本小题满分12分)如图21，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD＝2BP.图21求证：(1)PC＝3BP；(2)AC＝PC.【证明】(1)∵BD是⊙O的切线，BPC是⊙O