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课时跟踪检测(六)圆周角定理一、选择题1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是()A．40°B．25°C．50°D．60°解析：选A连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝12∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是()A．AE＝BEB．OE＝DEC．∠AOD＝50°D．D是»AB的中点解析：选B因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，所以¼AD＝»BD，AE＝BE.因为∠BCD＝25°，所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，故A、C、D项结论正确，选B.3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝23，则此三角形外接圆的半径为()A.3B．2C．23D．4解析：选B由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝23cos30°＝4，故外接圆半径r＝12AB＝2.4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于()A.34B.43C.53D.73解析：选D连接BD，则∠BDP＝90°.∵△CPD∽△APB，∴CDAB＝PDPB＝34.在Rt△BPD中，cos∠BPD＝PDPB＝34，∴tan∠BPD＝73.二、填空题5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________.解析：AB是⊙O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.答案：22°6．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______．解析：如图，连接AB，AC，由A，E为半圆周上的三等分点，得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，∠ACB＝30°.由BC＝4，得AB＝2，AD＝3，BD＝1，则DF＝33，故AF＝233.答案：2337．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于点D，若AD＝4，则AE＝________.解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC.又△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AEC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACE，∴ADAC＝ACAE，∴AE＝AC2AD＝9.答案：9三、解答题8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD；(2)若BC＝4，sinM＝23，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．(2)由sinM＝23知，sinC＝23，所以BNBC＝23，BN＝23×4＝83.由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.所以⊙O的直径为6.9.如图，已知△ABC内接于圆，D为»BC的中点，连接AD交BC于点E.求证：(1)AEEC＝BEED；(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.证明：(1)连接CD.∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，∴△ABE∽△CDE.∴AEEC＝BEED.(2)连接BD.∵AEEC＝BEDE，∴AE·DE＝BE·EC.∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①在△ABD与△AEC中，∵D为»BC的中点，∴∠1＝∠2.又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，∴△ABD∽△AEC.∴ABAE＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE②由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.10.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BCD的面积．解：(1)证明：因为AI平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，所以»BD＝¼DC，所以BD＝DC.因为BI平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI，因为∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，所以∠BAD＝∠DBC.又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，所以∠DBI＝∠DIB，所以△BDI为等腰三角形，所以BD＝ID，所以BD＝DC＝DI.(2)当∠BAC＝120°时，△ABC为钝角三角形，所以圆心O在△ABC外．连接OB，OD，OC，则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD＝120°，所以∠DBC＝∠DCB＝60°，所以△BDC为正三角形．所以OB是∠DBC的平分线．延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，所以BE＝12BD.又因为OB＝10，所以BC＝BD＝2OBcos30°＝2×10×32＝103，所以CE＝BC·sin60°＝103×32＝15，所以S△BCD＝12BD·CE＝12×103×15＝753.所以△BCD的面积为753.