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课时跟踪检测(十一)平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线一、选择题1．一条直线在一个面上的平行投影是()A．一条直线B．一个点C．一条直线或一个点D．不能确定解析：选C当直线与面垂直时，平行投影可能是点．2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是()A．三角形B．一直线C．三角形或一直线D．以上均不正确解析：选D当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．3．下列说法不．正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：选D显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为()A.22B.2C．1D.12解析：选B由题意知α＝60°，β＝45°，满足βα，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝cos45°cos60°＝2.二、填空题5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．答案：圆圆或椭圆6．有下列说法：①矩形的平行射影一定是矩形；②梯形的平行射影一定是梯形；③平行四边形的平行射影可能是正方形；④正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题是________．(填上所有正确说法的序号)解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．答案：③7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O.由O1O⊥OD，O1C⊥OA，故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，则AO＝O1O.故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.显然AB即为椭圆的长轴，所以椭圆的长轴长13.答案：13三、解答题8．△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A，B，C在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．解：由条件可知A′B′＝A′C′，∴∠B′A′C′＝90°.设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，A′C′2＝4－(5－x)2，由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，得2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5±2.即A到α的距离为5±2.9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则b＝3，a＝bcos60°＝3×2＝6，∴c2＝a2－b2＝62－32＝27.∴两焦点间距离2c＝227＝63.10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB，CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，则侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴圆锥的半顶角α＝π4.连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，∴OE∥VA，∴∠VOE＝∠AVO＝π4.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面VAB.∴平面CDE⊥平面VAB.即平面VAB为截面CDE的轴面，∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．