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阶段质量检测(一)B卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据相似三角形的预备定理可得△OEF∽△OAD，△CHG∽△CBO，△OAD∽△OBC.2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则下列结论正确的是()A．△AED∽△ACBB．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACED．△AEC∽△DAC解析：选C∵D为BC的中点，∠CAB＝90°，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∴∠C＝∠BAE，又∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.3．已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y那么下列结论中正确的是()A．y是x的增函数B．y是x的减函数C．y随x的增大先增加后减小D．无论x怎样变化，y为常数解析：选D连接AR，∵E、F分别为AP、PR的中点，∴EF是△APR的中位线，∴EF＝12AR，∵当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，故选D.4．如图，G点是△ABC的重心，GE∥BC，那么AB是BE的()A．3倍B．6倍C．2倍D．4倍解析：选A∵G是△ABC的重心，∴GC＝2DG，∵GE∥BC，∴BE＝2ED.∴BE＝23BD，即BD＝32BE.∵AB＝2BD，∴AB＝2×32BE＝3BE.5．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为()A．2∶3B．4∶9C.6∶3D．不确定解析：选C如右图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即CDAD＝BDCD.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x0)．∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.易知△ACD与△CBD的相似比为ADCD＝2x6x＝63.6.如右图，过梯形ABCD的腰AD的中点E的直线EF平行于底边，交BC于F，若AE的长是BF的长的23，则FC是ED的________倍．()A.23B.32C．1D.12解析：选B∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE，∴BF＝FC.又∵AE＝23BF，∴FC＝32ED.7.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且ADAC＝13，AE＝BE，则有()A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD解析：选B直接法，注意到∠A＝∠C＝60°，可设AD＝a，则AC＝3a，而AB＝AC＝BC＝3a.所以AE＝BE＝32a.所以ADAE＝a32a＝23.又CDBC＝2a3a＝23，所以ADAE＝CDCB，∠A＝∠C＝60°，故△AED∽△CBD，选B.8．等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是()A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形解析：选B连接梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的各边相等，由此可以判定此四边形必定为菱形．9．如图，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形．又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC，∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC，∴与△ODB相似的三角形有3个．10.如图所示，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB′C′D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为()A．4B．2－3C．2＋3D.3－1解析：选B如图，过B′点作EF∥BC，分别交AB、DC于E、F，连接AK.由基本图形知，Rt△KFB′∽Rt△B′EA.在Rt△AB′E中，∠EAB′＝60°，AB′＝1，∴B′E＝32.∴KB′AB′＝B′FAE＝1－B′EAE＝1－3212＝2－3∴KB′＝2－3.又∵Rt△AB′K≌Rt△ADK，∴SAB′KD＝2S△AB′K＝AB′×KB′＝2－3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，在▱ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM＝________，DN＝________.解析：BMAD＝BEED＝12，∴BM＝12BC＝12，DNBM＝DFFB＝12，∴DN＝12BM＝6.答案：12612．如图，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF与FC的比值为____________．解析：过D作DG平行于BC，交AF于点G，再根据平行线等分线段定理即可解决．答案：1213．如图，等边△DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于H，BC＝4cm，AH＝2cm，则△DEF的边长为________cm.解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AG⊥DE，∴DEBC＝AGAH，设DE＝x，则GH＝32x，AG＝AH－GH＝2－32x.∴x4＝2－32x2.解得：x＝23－2(cm)．答案：23－214．(湖北高考)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则CEEO的值为________．解析：连接AC，BC，则AC⊥BC.∵AB＝3AD，∴AD＝13AB，BD＝23AB，OD＝16AB.又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，∴OC＝12AB.在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝29AB2.在△OCD中，根据射影定理有：OD2＝OE·OC，CD2＝CE·OC，可得OE＝118AB，CE＝49AB，∴CEEO＝8.答案：8三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM，CM的延长线分别交AC，AB于F，E.求证：EF∥BC.证明：法一：延长AD至G，使DG＝MD，连接BG，CG.∵BD＝DC，MD＝DG，∴四边形BGCM为平行四边形．∴EC∥BG，FB∥CG.∴AEAB＝AMAG，AFAC＝AMAG.∴AEAB＝AFAC.∴EF∥BC.法二：过点A作BC的平行线，与BF，CE的延长线分别交于G，H.∵AH∥DC，AG∥BD，∴AHDC＝AMMD，AGBD＝AMMD.∴AHDC＝AGBD.∵BD＝DC，∴AH＝AG.∵HG∥BC，∴AEEB＝AHBC，AFFC＝AGBC.∵AH＝AG，∴AEEB＝AFFC.∴EF∥BC.16．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC，DE∥BC，S△BCD∶S△BAC＝4∶9，求EC的长．解：如图，过D作DF⊥BC，过A作AG⊥BC，S△BCD＝12BC·DF，S△BAC＝12BC·AG.因为S△BCD∶S△BAC＝4∶9，所以DF∶AG＝4∶9.因为△BDF∽△BAG，所以BD∶BA＝DF∶AG＝4∶9.因为AB＝12，所以CE＝BD＝163.17．(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD中，求证：AC·BD≤AB·CD＋AD·BC.证明：如图所示．取点E使∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，连接AE，BE，DE，则△ABE∽△ACD.∴ABAC＝AEAD，①ABAC＝BECD.②由①及∠BAC＝∠EAD，得△BAC∽△EAD.∴BCED＝ACAD.③由②得BE＝AB·CDAC，由③得ED＝BC·ADAC.由于BE＋ED≥BD，∴AB·CDAC＋BC·ADAC≥BD.∴AB·CD＋BC·AD≥AC·BD.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EG⊥AB于G.求证：EG2＝FD·EB.证明：因为∠ACE＝90°，CD⊥AB，所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°.因为∠AFD＝∠CFE，所以∠FAD＋∠CFE＝90°.又因为∠CAE＝∠FAD，所以∠AEC＝∠CFE.所以CF＝CE.因为AE是∠CAB的平分线，EG⊥AB，EC⊥AC，所以EC＝EG，CF＝EG.因为∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°，所以∠ACF＝∠B.因为∠CAF＝∠BAE，所以△AFC∽△AEB，AFAE＝CFEB.因为CD⊥AB，EG⊥AB，所以Rt△ADF∽Rt△AGE.所以AFAE＝FDEG.所以CFEB＝FDEG.所以CF·EG＝FD·EB，即EG2＝FD·EB.