高中数学人教A版选修44模块检测卷一Word版含解析

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模块检测卷(一)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π解析:选B设P点的坐标为(x,y),∵|PA|=2|PB|,∴(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2].即(x-2)2+y2=4.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,它的面积为4π.2.柱坐标2,π3,1对应的点的直角坐标是()A.(3,-1,1)B.(3,1,1)C.(1,3,1)D.(-1,3,1)解析:选C由直角坐标与柱坐标之间的变换公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z可得x=1,y=3,z=1.3.在极坐标系中,点A的极坐标是(1,π),点P是曲线C:ρ=2sinθ上的动点,则|PA|的最小值是()A.0B.2C.2+1D.2-1解析:选DA的直角坐标为(-1,0),曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,|AC|=2,则|PA|min=2-1.4.直线x=sinθ+tsin15°,y=cosθ-tsin75°(t为参数,θ是常数)的倾斜角是()A.105°B.75°C.15°D.165°解析:选A参数方程x=sinθ+tsin15°,y=cosθ-tsin75°⇒x=sinθ+tcos75°,y=cosθ-tsin75°,消去参数t得,y-cosθ=-tan75°(x-sinθ),∴k=-tan75°=tan(180°-75°)=tan105°.故直线的倾斜角是105°.5.双曲线x=tanθ,y=21cosθ(θ为参数)的渐近线方程为()A.y=±22xB.y=±12xC.y=±2xD.y=±2x解析:选D把参数方程化为普通方程得y24-x2=1,渐近线方程为y=±2x.6.极坐标方程ρ=cosθ和参数方程x=-1-t,y=2+3t(t为参数)所表示的图形分别是()A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线解析:选A∵ρ=cosθ,∴x2+y2=x表示圆.∵x=-1-t,y=2+3t,∴y+3x=-1表示直线.7.已知点P的极坐标为(π,π),则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()A.ρ=πB.ρ=cosθC.ρ=πcosθD.ρ=-πcosθ解析:选D设M(ρ,θ)为所求直线上任意一点,由图形知|OM|cos∠POM=π,∴ρcos(π-θ)=π.∴ρ=-πcosθ.8.直线l:y+kx+2=0与曲线C:ρ=2cosθ相交,则k满足的条件是()A.k≤-34B.k≥-34C.k∈RD.k∈R且k≠0解析:选A由题意可知直线l过定点(0,-2),曲线C的普通方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.由图可知,直线l与圆相切时,有一个交点,此时|k+2|k2+1=1,得-k=34.若满足题意,只需-k≥34.即k≤-34即可.9.参数方程x=1+sinθ,y=cos2π4-θ2(θ为参数,0≤θ2π)所表示的曲线是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分,且过点-1,12D.抛物线的一部分,且过点1,12解析:选D由y=cos2π4-θ2=1+cosπ2-θ2=1+sinθ2,可得sinθ=2y-1,由x=1+sinθ得x2-1=sinθ,∴参数方程可化为普通方程x2=2y,又x=1+sinθ∈[0,2].∴表示抛物线的一部分,且过点1,12.10.在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=π3,ρcosθ+ρsinθ=1围成的图形的面积为()A.14B.3-34C.2-34D.13解析:选B三条直线的直角坐标方程依次为y=0,y=3x,x+y=1,如图所示,围成的图形为△OPQ,可得S△OPQ=12|OQ|·|yP|=12×1×33+1=3-34.11.设曲线C的参数方程为x=2+3cosθ,y=-1+3sinθ(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:选B曲线C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,3为半径的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=|2+3+2|10=71010且3-7101071010,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.12.已知直线x=2-tsin30°,y=-1+tsin30°(t为参数)与圆x2+y2=8相交于B、C两点,O为原点,则△BOC的面积为()A.27B.30C.152D.302解析:选Cx=2-tsin30°,y=-1+tsin30°⇒x=2-12t=2-22t′,y=-1+12t=-1+22t′(t′为参数).代入x2+y2=8,得t′2-32t′-3=0,∴|BC|=|t′1-t′2|=t′1+t′22-4t′1t′2=322+4×3=30,弦心距d=8-304=22,S△BCO=12|BC|·d=152.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.将参数方程x=a2t+1t,y=b2t-1t(t为参数)转化成普通方程为________.解析:参数方程变为2xa=t+1t,2yb=t-1t,∴2x2a2-2y2b2=4,∴x2a2-y2b2=1.答案:x2a2-y2b2=114.在极坐标中,直线ρsinθ+π4=2被圆ρ=4截得的弦长为________.解析:直线ρsinθ+π4=2可化为x+y-22=0,圆ρ=4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式,得2r2-d2=242-2222=43.答案:4315.(广东高考)已知曲线C的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.解析:曲线C的普通方程为:x2+y2=(2cost)2+(2sint)2=2(cos2t+sin2t)=2,由圆的知识可知,圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l,从而l的斜率为-1,由点斜式可得直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.由ρcosθ=x,ρsinθ=y,可得l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-2=0.答案:ρsinθ+π4=216.(重庆高考)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线x=t2,y=t3(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.解析:ρcosθ=4化为直角坐标方程为x=4,①x=t2,y=t3化为普通方程为y2=x3,②①②联立得A(4,8),B(4,-8),故|AB|=16.答案:16三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数),M是C1上的动点,P点满足OP―→=2OM―→,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.解:(1)设P(x,y),则由条件知Mx2,y2.由于M点在C1上,所以x2=2cosα,y2=2+2sinα,即x=4cosα,y=4+4sinα.从而C2的参数方程为x=4cosα,y=4+4sinα.(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ1=8sinθ.射线θ=π3与C1的交点A的极径为ρ1=4sinπ3,射线θ=π3与C2的交点B的极径为ρ2=8sinπ3.所以|AB|=|ρ2-ρ1|=23.18.(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=t+1,y=2t(t为参数),曲线C的参数方程为x=2tan2θ,y=2tanθ(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解:因为直线l的参数方程为x=t+1,y=2t(t为参数),由x=t+1,得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组y=2x-1,y2=2x,解得公共点的坐标为(2,2),12,-1.19.(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2-6ysinθ-2x-9cos2θ+8cosθ+9=0,(0≤θ<2π).(1)试证:不论θ如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线;(2)θ为何值时,该抛物线在直线x=14上截得的弦最长,并求出此弦长.解:(1)证明:将方程y2-6ysinθ-2x-9cos2θ+8cosθ+9=0可配方为(y-3sinθ)2=2(x-4cosθ)∴图象为抛物线.设其顶点为(x,y),则有x=4cosθ,y=3sinθ,消去θ得顶点轨迹是椭圆x216+y29=1.(2)联立x=14,y2-6ysinθ-2x-9cos2θ+8cosθ+9=0消去x,得y2-6ysinθ+9sin2θ+8cosθ-28=0.弦长|AB|=|y1-y2|=47-2cosθ,当cosθ=-1,即θ=π时,弦长最大为12.20.(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ=21-cosθ,过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点,当两条直线的倾斜角为何值时,|AB|+|CD|有最小值?并求出这个最小值.解:由题意,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),Cρ3,θ+π2,Dρ4,θ+3π2.则|AB|+|CD|=(ρ1+ρ2)+(ρ3+ρ4)=21-cosθ+21+cosθ+21+sinθ+21-sinθ=16sin22θ.∴当sin22θ=1即θ=π4或θ=3π4时,两条直线的倾斜角分别为π4,3π4时,|AB|+|CD|有最小值16.21.(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcosθ-π4=22.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为x=t3+a,y=b2t3+1(t∈R为参数).求a,b的值.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解x2+y-22=4,x+y-4=0,得x1=0,y1=4,x2=2,y2=2.所以C1与C2交点的极坐标为4,π2,22,π4.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=b2x-ab2+1,所以b2=1,-ab2+1=2,解得a=-1,b=2.22.(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得x=x1,y=

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