高中数学人教A版选修44模块检测卷二Word版含解析

模块检测卷(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．点M的直角坐标是(－1，3)，则点M的极坐标为()A.2，π3B.2，－π3C.2，2π3D.2，2kπ＋2π3，(k∈Z)解析：选Dρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴cosθ＝－12，sinθ＝32，∴θ＝2π3＋2kπ，k∈Z.即点M的极坐标为2，2kπ＋2π3，(k∈Z)．2．设r0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r(θ是常数)与圆x＝rcosφ，y＝rsinφ(φ是参数)的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．视r的大小而定解析：选B圆心到直线的距离d＝|0＋0－r|cos2θ＋sin2θ＝|r|＝r，故相切．3．方程x＝2t－2－t，y＝2t＋2－t(t为参数)表示的曲线是()A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆解析：选B将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即y2－x2＝4.又注意到2t0,2t＋2－t≥22t·2－t＝2，即y≥2.可见与以上参数方程等价的普通方程为：y2－x2＝4(y≥2)．显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．4．直线x＝1＋2t，y＝2＋t(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为()A.125B.1255C.955D.9510解析：选Bx＝1＋2t，y＝2＋t⇒x＝1＋5t×25，y＝2＋5t×15，把直线x＝1＋2t，y＝2＋t代入x2＋y2＝9，得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0，|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝－852＋165＝125，弦长为5|t1－t2|＝1255.5．极坐标ρ＝cosπ4－θ表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆解析：选D法一：由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得ρ2＝ρcosπ4－θ＝ρ22cosθ＋22sinθ＝22(ρcosθ＋ρsinθ)，化为直角坐标方程得x2＋y2＝22(x＋y)，故方程ρ＝cosπ4－θ表示圆．法二：极坐标方程ρ＝2acosθ表示圆，而π4－θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ＝cosπ4－θ表示圆．6．柱坐标P16，π3，5转换为直角坐标为()A．(5,8,83)B．(8,83，5)C．(83，8,5)D．(4,83，5)解析：选B由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得x＝16cosπ3＝8，y＝16sinπ3＝83，z＝5.即P点的直角坐标为(8,83，5)．7．双曲线x＝3tanθ，y＝secθ(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选C由x＝3tanθ，y＝secθ⇒y2－x23＝1，两条渐近线的方程是y＝±33x，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.8．若动点(x，y)在曲线x24＋y2b2＝1(b0)上变化，则x2＋2y的最大值为()A.b24＋40b42bb≥4B.b24＋40b22bb≥2C.b24＋4D．2b解析：选A设动点的坐标为(2cosθ，bsinθ)，代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsinθ＝－2sinθ－b22＋4＋b24，当0b4时，(x2＋2y)max＝b24＋4，当b≥4时，(x2＋2y)max＝－2－b22＋4＋b24＝2b.9．若直线y＝x－b与曲线x＝2＋cosθ，y＝sinθ(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为()A．(2－2，1)B．[2－2，2＋2]C．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D．(2－2，2＋2)解析：选D将参数方程x＝2＋cosθ，y＝sinθ化为普通方程(x－2)2＋y2＝1.依题意得，圆心(2,0)到直线y＝x－b，即x－y－b＝0的距离小于圆的半径1，则有|2－b|2＜1，|2－b|＜2，－2＜2－b＜2，即2－2＜b＜2＋2.10．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析：选C不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．11．已知过曲线x＝3cosθ，y＝5sinθ(θ为参数且0≤θ≤π2)上一点P与原点O的距离为13，则P点坐标为()A.332，52B.322，522C.32，532D.125，125解析：选A设P(3cosθ，5sinθ)，则|OP|2＝9cos2θ＋25sin2θ＝9＋16sin2θ＝13，得sin2θ＝14.又0≤θ≤π2，∴sinθ＝12，cosθ＝32.∴x＝3cosθ＝332，y＝5sinθ＝52，∴P点坐标为332，52.12．设曲线x＝2cosθ，y＝3sinθ与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为()A．－34B．－43C.34D.43解析：选A令y＝0得：sinθ＝0，∴cosθ＝±1.∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cosθ，3sinθ)．∴kPM·kPN＝3sinθ2cosθ＋2·3sinθ2cosθ－2＝3sin2θ4cos2θ－1＝－34.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，则大圆被小圆截得的劣弧MN的长________．解析：设O1的参数方程为：x＝3＋33cosθ，y＝33sinθ(0≤θ＜2π)，将上式代入圆O的方程得：(3＋33cosθ)2＋(33sinθ)2＝9.整理得cosθ＝－32，∴θ1＝5π6，θ2＝7π6.∠MO1N＝7π6－5π6＝π3.∴MN的长为：33·π3＝3π.答案：3π14．(江西高考)设曲线C的参数方程为x＝t，y＝t2(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，即ρcos2θ－sinθ＝0.答案：ρcos2θ－sinθ＝015．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线x＝t＋1，y＝t－12(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．解析：曲线x＝t＋1，y＝t－12可化为y＝(x－2)2，射线θ＝π4可化为y＝x(x0)，联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标就是此方程的根，∴x1＋x2＝5，线段AB的中点的直角坐标为52，52.答案：52，5216．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝3x，联立x2＋y2＝4y，y＝3x，消去y，得x2＝3x，解得x＝3或x＝0，所以y＝3x＝3，即a＝3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知P为半圆C：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．解：(1)由已知，得点M的极角为π3，且点M的极径等于π3，故点M的极坐标为π3，π3.(2)点M的直角坐标为π6，3π6，A(1,0)，故直线AM的参数方程为x＝1＋π6－1t，y＝3π6t，(t为参数)．18．(本小题满分12分)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0距离的最小值．解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋32sinθ)．M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|＝55|5sin(φ－θ)－13|φ为锐角且tanφ＝43.从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值855.19．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cosθcosπ4＋sinθsinπ4)＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.①因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．设cosθ＝2x－22，sinθ＝2y－22，所以参数方程为x＝2＋2cosθy＝2＋2sinθ(θ为参数)．(2)由(1)可知xy＝(2＋2cosθ)·(2＋2sinθ)＝4＋22(cosθ＋sinθ)＋2cosθ·sinθ＝3＋22(cosθ＋sinθ)＋(cosθ＋sinθ)2.②设t＝cosθ＋sinθ，则t＝2sin(θ＋π4)，t∈[－2，2]．所以xy＝3＋22t＋t2＝(t＋2)2＋1.当t＝－2时xy有最小值为1；当t＝2时，xy有最大值为9.20．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为x＝1＋cost，y＝sint(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝3，t＝π3.故D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即32，32.21．(福建高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直