高中数学人教A版选修44课时跟踪检测一平面直角坐标系Word版含解析

课时跟踪检测(一)平面直角坐标系一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线解析：选D由伸缩变换的意义可得．2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选C由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN―→|·|MP―→|＋MN―→·NP―→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：选B由题意，得MN―→＝(4,0)，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)，由|MN―→|·|MP―→|＋MN―→·NP―→＝0，得4x＋22＋y2＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是()A.x＝2x′y＝13y′B.x′＝2xy′＝13yC.x＝2x′y＝3y′D.x′＝2xy′＝3y解析：选B设x′＝λx，λ0，y′＝μy，μ0，则μy＝sinλx，即y＝1μsinλx.比较y＝3sin2x与y＝1μsinλx，则有1μ＝3，λ＝2.∴μ＝13，λ＝2.∴x′＝2x，y′＝13y.二、填空题5．y＝cosx经过伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由x′＝2x，y′＝3y，得x＝12x′，y＝13y′，代入y＝cosx，得13y′＝cos12x′，即y′＝3cos12x′.答案：y＝3cosx′26．把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋y216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设x＝λXλ0，y＝μYμ0，则X＝xλ，Y＝yμ.代入X2＋Y2＝16得x216λ2＋y216μ2＝1.∴16λ2＝1,16μ2＝16.∴λ＝14，μ＝1.故x＝X4，y＝Y.答案：x＝X4，y＝Y7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________．解析：∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6＞4.∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.∴点A的轨迹方程为x29＋y25＝1(y≠0)．答案：x29＋y25＝1(y≠0)三、解答题8.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为x－422－9y2＝1.①x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②比较①②，可得x′－2＝x－42，y′＝3y，即x′＝x2，y′＝3y.所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．则M点的坐标为b2，c2.由于|BC|＝b2＋c2，|AM|＝b24＋c24＝12b2＋c2，故|AM|＝12|BC|.10．如图，椭圆C0：x2a2＋y2b2＝1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t21，bt1a.点A1，A2分别为C0的左、右顶点，动圆C1与椭圆C0相交于A，B，C，D四点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解：设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝y1x1＋a(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝－y1x1－a(x－a)．②由①②，得y2＝－y21x21－a2(x2－a2)．③由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故x21a2＋y21b2＝1.从而y21＝b21－x21a2，代入③，得x2a2－y2b2＝1(x－a，y0)，此方程即为点M的轨迹方程．