高中数学人教A版选修44课时跟踪检测十一双曲线的参数方程抛物线的参数方Word版含解析

课时跟踪检测(十一)双曲线的参数方程抛物线的参数方一、选择题1．曲线x＝t2－1，y＝2t＋1(t为参数)的焦点坐标是()A．(1,0)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0，－1)解析：选B将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．2．圆锥曲线x＝4secθ，y＝3tanθ(θ是参数)的焦点坐标是()A．(－5,0)B．(5,0)C．(±5,0)D．(0，±5)解析：选C由x＝4secθ，y＝3tanθ(θ为参数)得x216－y29＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．3．方程x＝et＋e－t，y＝et－e－t(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：选B∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2et·e－t＝2.∴表示双曲线的右支．4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是()A．1B．2C.3D．3解析：选C∵双曲线方程为x2－y2＝1，∴a＝b＝1.∴双曲线的参数方程为x＝secθ，y＝tanθ(θ为参数)．设双曲线上一动点为Μ(secθ，tanθ)，则||Μ0Μ2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3.当tanθ＝1时，||Μ0Μ2取最小值3，此时有||Μ0Μ＝3.二、填空题5．已知动圆方程x2＋y2－xsin2θ＋22y·sinθ＋π4＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为x＝12sin2θ，y＝－2sinθ＋π4.即x＝sinθcosθ，y＝－sinθ＋cosθ.消去参数，得y2＝1＋2x－12≤x≤12.答案：y2＝1＋2x－12≤x≤126．双曲线x＝3tanθ，y＝secθ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y2－x23＝1，此时a＝1，b＝3，设渐近线倾斜角为α，则tanα＝±13＝±33.∴α＝30°或150°.答案：30°或150°7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为x＝t，y＝t(t为参数)和x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．解析：由x＝t，y＝t(t为参数)得y＝x，又由x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)得x2＋y2＝2.由y＝x，x2＋y2＝2，得x＝1，y＝1，即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．解：由题意可知O1(0,2)，∵Q为双曲线x2－y2＝1上一点，设Q(secθ，tanθ)，在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.又|O1Q|2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3.∴当tanθ＝1，即θ＝π4时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝3.∴|PQ|min＝3－1.9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．证明：设d1为点Μ到渐近线y＝x的距离，d2为点Μ到渐近线y＝－x的距离，因为点Μ在双曲线x2－y2＝1上，则可设点Μ的坐标为(secα，tanα)．d1＝||secα－tanα2，d2＝||secα＋tanα2，d1d2＝||sec2α－tan2α2＝12，故d1与d2的乘积是常数．10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为x＝8t2，y＝8t(t为参数)，可设M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)，则kMN＝8t2－8t18t22－8t21＝1t1＋t2.又设MN的中点为P(x，y)，则x＝8t21＋8t222，y＝8t1＋8t22.∴kAP＝4t1＋t24t21＋t22－1，由kMN＝kAP知t1t2＝－18，又x＝4t21＋t22，y＝4t1＋t2，则y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16x4－14＝4(x－1)．∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知y21＝8x1，y22＝8x2，两式相减得y21－y22＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝8y1＋y2.设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.由kPA＝yx－1，又kMN＝y1－y2x1－x2＝8y1＋y2＝4y，∴yx－1＝4y.∴y2＝4(x－1)．∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．