高中数学人教A版选修44阶段质量检测一B卷Word版含解析

阶段质量检测（一）B卷一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为()A．(π，0)B．(π，2π)C．(－π，0)D．(－2π，0)解析：选Ax＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．2．在极坐标系中，已知A2，π6、B6，－π6，则OA、OB的夹角为()A.π6B．0C.π3D.5π6解析：选C如图所示，夹角为π3.3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝13cos2x按伸缩变换x′＝2x，y′＝3y后为()A．y＝cosxB．y＝3cosx2C．y＝2cosx3D．y＝12cos3x解析：选A由x′＝2x，y′＝3y，得x＝x′2，y＝y′3.代入y＝13cos2x，得y′3＝13cosx′.∴y′＝cosx′，即曲线y＝cosx.4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.1，π2B.1，－π2C．(1,0)D．(1，π)解析：选B由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.5．曲线θ＝2π3与ρ＝6sinθ的两个交点之间的距离为()A．1B.3C．33D．6解析：选C极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sinθ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C3，π2，∠AOC＝π6，∴|AO|＝2×3×cosπ6＝6×32＝33.6．点M1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为()A.1，4π3B.1，2π3C.1，π3D.1，－7π6解析：选A法一：点M1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点为1，7π6＋π6，即1，4π3.法二：点M1，7π6的直角坐标为cos7π6，sin7π6＝－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y＝x，点－32，－12关于直线y＝x的对称点为－12，－32，再化为极坐标即1，4π3.7．极坐标方程ρsin2θ－2cosθ＝0表示的曲线是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：选C由ρsin2θ－2cosθ＝0，得ρ2sin2θ－2ρcosθ＝0，∴化为直角坐标方程是y2－2x＝0，即x＝12y2，表示抛物线．8．在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为()A．ρcosθ＝12B．ρcosθ＝2C．ρ＝4sinθ＋π3D．ρ＝4sinθ－π3解析：选B极坐标方程ρ＝4sinθ化为ρ2＝4ρsinθ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由所给的选项中ρcosθ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．9．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为()A.22B.2C．2D．22解析：选B圆ρ＝4cosθ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝π2，∠COD＝π4，∴|CD|＝2.10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsinθ＋π4(r0)的公共弦所在直线的方程为()A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝rB．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.2ρ(sinθ＋cosθ)＝rD.2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r解析：选D圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①圆ρ＝－2rsinθ＋π4＝－2rsinθcosπ4＋cosθsinπ4＝－2r(sinθ＋cosθ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r(ρsinθ＋ρcosθ)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋2rx＋2ry＝0.②①－②整理得2(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x＋y)＝－r化为极坐标方程为2ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．直线xcosα＋ysinα＝0的极坐标方程为________．解析：ρcosθcosα＋ρsinθsinα＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π2.答案：θ＝π2＋α13换题内容13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为________．12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcosθ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．解析：将ρ2＝4ρcosθ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－33≤k≤33.答案：－33，3313．已知点M的柱坐标为2π3，2π3，2π3，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z得x＝2π3cos2π3＝－π3，y＝2π3sin2π3＝3π3，z＝2π3，由r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr，得r＝22π3，cosφ＝22.即r＝22π3，φ＝π4.∴点M的直角坐标为－π3，3π3，2π3，球坐标为22π3，π4，2π3.答案：－π3，3π3，2π322π3，π4，2π314．在极坐标系中，定点A(1，π2)，点B在直线l：ρcosθ＋ρsinθ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．解析：将ρcosθ＋ρsinθ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A1，π2化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，则|OB|＝22，θ＝3π4，故B点的极坐标是B22，3π4.答案：22，3π4三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A为1，π4，半径为1的圆的极坐标方程．解：在极坐标系中，设点P(ρ，θ)是圆上任意一点，则有r2＝OP2＋OA2－2OP·OA·cosθ－π4，即1＝ρ2＋1－2ρcosθ－π4.即ρ2－2ρcosθ－π4＝0为所求圆的极坐标方程．16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cosθ与ρcosθ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－2cosθ可变为ρ2＝－2ρcosθ，化为普通方程为x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcosθ＋π3＝1化为普通方程为x－3y－2＝0，∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1，∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点m，π3(m＞0)到直线ρcosθ－π3＝2的距离．解：将直线极坐标方程化为ρcosθcosπ3＋sinθsinπ3＝2，化为直角坐标方程为x＋3y－4＝0，点m，π3的直角坐标为m2，3m2，∴点m2，3m2到直线x＋3y－4＝0的距离为m2＋3·3m2－41＋3＝2|m－2|2＝|m－2|.18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为2，π3，半径r＝1，P在圆C上运动．(1)求圆C的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．解：(1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcosθ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－π3＋3＝0.(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋(2y－3)2＝1，则Q的直角坐标方程为x－122＋y－322＝14.19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsinθ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P2，π4，所以圆C的半径PC＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)∵ρcosθ－π3＝1，∴ρcosθ·cosπ3＋ρsinθ·sinπ3＝1.又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴12x＋32y＝1.即曲线C的直角坐标方程为x＋3y－2＝0.令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝233.∴M(2,0)，N0，233.∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为233，π2.(2)M、N连线的中点P的直角坐标为1，33，直线OP的极角为θ＝π6.∴直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．