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2．2.2对数函数及其性质(一)课时目标1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．2．对数函数的图象与性质定义y＝logax(a0，且a≠1)底数a10a1图象定义域________值域________单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点________，即loga1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈________；x∈[1，＋∞)时，y∈________x∈(0,1)时，y∈________；x∈[1，＋∞)时，y∈________对称性函数y＝logax与y＝1logax的图象关于____对称3.反函数对数函数y＝logax(a0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数．一、选择题1．函数y＝log2x－2的定义域是()A．(3，＋∞)B．[3，＋∞)C．(4，＋∞)D．[4，＋∞)2．设集合M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于()A．(－∞，0)∪[1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，0)∪(0,1)3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于()A．0B．1C．2D．34．函数f(x)＝|log3x|的图象是()5．已知对数函数f(x)＝logax(a0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是()A．g(x)＝4xB．g(x)＝2xC．g(x)＝9xD．g(x)＝3x6．若loga231，则a的取值范围是()A．(0，23)B．(23，＋∞)C．(23，1)D．(0，23)∪(1，＋∞)题号123456答案二、填空题7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是______________．8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．9．给出函数则f(log23)＝________.三、解答题10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a0，且a≠1)．(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．(2)求使f(x)－g(x)0的x的取值范围．能力提升12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是()A．a4a3a2a1B．a3a4a1a2C．a2a1a3a4D．a3a4a2a113．若不等式x2－logmx0在(0，12)内恒成立，求实数m的取值范围．1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．当0nm1时，如图①；当1nm时，如图②；当0m1n时，如图③.2．由于指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．2．2.2对数函数及其性质(一)知识梳理1．函数y＝logax(a0，且a≠1)(0，＋∞)2.(0，＋∞)R(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴3．y＝ax(a0且a≠1)作业设计1．D[由题意得：log2x－2≥0，x0.解得x≥4.]2．C[M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．]3．B[α＋1＝2，故α＝1.]4．A[y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．]5．D[由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a0，∴a＝3.因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.]6．D[由loga231得：loga23logaa.当a1时，有a23，即a1；当0a1时，则有0a23.综上可知，a的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．]7．(1,2)解析由题意，得03－a1，0a1或3－a1，a1，解得1a2.8．(4，－1)解析y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；令y＋1＝0，则y＝－1.9.124解析∵1log23log24＝2，∴3＋log23∈(4,5)，∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)＝f(log23＋3)＝f(log224)＝222log241loglog24241222＝124.10．解(1)由x－20，得x2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.又因为x2＋8≥8，所以log4(x2＋8)≥log48＝32，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[32，＋∞)．11．解(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.(2)f(x)－g(x)0，即loga(1＋x)loga(1－x)，①当a1时，1＋x1－x0，得0x1.②当0a1时，01＋x1－x，得－1x0.12．B[作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a3a4a1a2.]13.解由x2－logmx0，得x2logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．要使x2logmx在(0，12)内恒成立，只要y＝logmx在(0，12)内的图象在y＝x2的上方，于是0m1.∵x＝12时，y＝x2＝14，∴只要x＝12时，y＝logm12≥14＝logm14m.∴12≤14m，即116≤m.又0m1，∴116≤m1，即实数m的取值范围是[116，1)．