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3.1.2空间向量的数乘运算课时目标1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．1．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ0时，λa与向量a方向________；当λ0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：______________；结合律：______________.2．共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．(3)方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．一、选择题1．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A.AB→＋BC→＝AC→B.AB→－BC→＝AC→C.AB→＝BC→D.|AB→|＝|BC→|3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，则OG=xOA→＋yOB＋zOC→，则()A．x＝13，y＝13，z＝13B．x＝13，y＝13，z＝16C．x＝16，y＝16，z＝13D．x＝16，y＝13，z＝134．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.OM＝2OA→－OB－OC→B.OM＝15OA→＋13OB＋12OC→C.MA＋MB→＋MC→＝0D.OM＋OA→＋OB＋OC→＝05.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1DA，D1C→，A1C1→是()A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量6．下列命题中是真命题的是()A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB→,CD→，满足|AB→||CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→CD→D.若两个非零向量AB→与CD→满足AB→＋CD→＝0，则AB→∥CD→二、填空题7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB→＋12BC→－32DE→－AD→的化简结果为________．8.在正四面体O－ABC中，OA→＝a，OB＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝______________(用a，b，c表示)．9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有OP＝2OA→＝2OA→＋OB＋λOC→，则λ＝________.三、解答题10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简12AA′→＋BC→＋23AB→；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的34分点，设MN＝αAB→＋βAD→＋γAA′→，试求α，β，γ的值．11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．能力提升12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若11AB＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c13.如图所示，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1对交线的交点，点P是空间任意一点.试探求PA＋PB→＋PC→＋PD→＋PA1→＋PB1→＋PC1→＋PD1→与PO→的关系．1．向量共线的充要条件及其应用(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．(2)利用向量共线可以证明三点共线．2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．3．1.2空间向量的数乘运算知识梳理1．(1)λa相同相反|λ|(2)λ(a＋b)＝λa＋λbλ(μa)＝(λμ)a2．(1)平行重合(2)存在实数λ，使a＝λb(3)OP→＝OA→＋ta3．(1)同一个平面(2)p＝xa＋ybAP→＝xAB→＋yAC→OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→作业设计1．C[A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.]2．C[由AB→＝BC知AB→与BC→共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．]3．D[∵OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋MG→，①OG→＝OC→＋CN→＋NG→，②OG→＝OB→＋BN→＋NG→，③又BN→＝－CN→，MG→＝－2NG→，∴①＋②＋③，得3OG→＝12OA→＋OB→＋OC→，即x＝16，y＝13，z＝13.]4．C[∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴MA→＝－MB→－MC→.∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]5．C[如图所示，因为D1C→－D1A→＝AC→，而AC→＝A1C1→，∴D1C→－D1A→＝A1C1→，即D1C→＝D1A→＋A1C1→，而D1A→与A1C1→不共线，所以D1C→，D1A→，A1C1→三向量共面．]6．D[A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB→CD→这种写法．D对．∵AB→＋CD→＝0，∴AB→＝－CD→，∴AB→与CD→共线，故AB→∥CD→正确．]7．0解析如图，取BC的中点F，连结DF，则DF→＝32DE→，∴AB→＋12BC→－32DE→－AD→＝AB→＋BF→－DF→＋DA→＝AF→＋FD→＋DA→＝0.8.12a＋14b＋14c解析如图，OE→＝12(OA→＋OD→)＝12OA→＋12×12(OB→＋OC→)＝12a＋14b＋14c.9．－2解析P与不共线三点A，B，C共面，且OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．10．解(1)方法一取AA′的中点为E，则12AA'→＝EA'→.又BC→＝A'D'→，AB→＝D'C'→，取F为D′C′的一个三等分点(D′F＝23D′C′)，则D'F→＝23AB→.∴12AA'→＋BC→＋23AB→＝EA'→＋A'D'→＋D'F→＝EF→.方法二取AB的三等分点P使得PB→＝23AB→，取CC′的中点Q，则12AA'→＋BC→＋23AB→＝12CC'→＋BC→＋23AB→＝CQ→＋BC→＋PB→＝PB→＋BC→＋CQ→＝PQ→.(2)连结BD，则M为BD的中点，MN→＝MB→＋BN→＝12DB→＋34BC'→＝12(DA→＋AB→)＋34(BC→＋CC'→)＝12(－AD→＋AB→)＋34(AD→＋AA'→)＝12AB→＋14AD→＋34AA'→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.11．证明∵NM→＝12BA→，NP→＝12A1B1→，∴BA→＝2NM→，A1B1→＝2NP→.又∵PQ→＝PB→＋BC→＋CQ→＝12BB1→＋BC→＋12(CB1→＋B1C1→)＝12(B1C1→＋CB→)＋BC→＋12(CB1→＋B1C1→)＝12(BC→＋B1C1→)，①又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，∴BC→＝λBA→＝2λNM→，B1C1→＝ωA1B1→＝2ωNP→.代入①式，得PQ→＝12(2λNM→＋2ωNP→)＝λNM→＋ωNP→.∴PQ→，NM→，NP→共面．∴M，N，P，Q四点共面．12．A[B1M→＝B1B→＋BM→＝A1A→＋12BD→＝c＋12(BA→＋BC→)＝－12A1B1→＋12A1D1→＋c＝－12a＋12b＋c.]13．解设E、E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝(PA→＋PC→)＋(PB→＋PD→)＝2PE→＋2PE→＝4PE→，同理可证：PA1→＋PB1→＋PC1→＋PD1→＝4PE1→，又因为平行六面体对角线的交点O是EE1的中点，所以PE→＋PE1＝2PO→，所以PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋PA1→＋PB1→＋PC1→＋PD1→＝4PE→＋4PE1→＝4(PE→＋PE1→)＝8PO→.