高中数学人教版A版选修21配套课时作业第三章空间向量与立体几何单元检测A卷Wor

第三章空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2B．3C．4D．52．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则A1B→等于()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝1524．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈AB→，CD→〉等于()A．－23B.23C.53D．－536．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是()A．cosθ＝n·a|n||a|B．cosθ＝|n·a||n||a|C．sinθ＝n·a|n||a|D．sinθ＝|n·a||n||a|8．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．不等边的锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确10．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB→|取最小值时，x的值等于()A．19B．－87C.87D.191411.如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为()A.22B.33C.77D.5712.如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为()A.33B.233C.3D．23题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.14．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．16.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θθ∈0，π2，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.18．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．19.(12分)如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断CE与MN是否共线？20．(12分)如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.21.(12分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．22．(12分)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．第三章空间向量与立体几何(A)1．C[只有命题④正确．]2.D[如图，A1B→＝AB→－AA1→＝CB→－CA→－AA1→＝CB→－CA→－CC1→＝b－a－c.]3．D[∵a∥b，∴存在实数λ，使3＝2λx＝4λy＝5λ，∴x＝6y＝152.]4．C[设a＝(x，y，z)，∵AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，又|a|＝3，a⊥AB→，a⊥AC→，∴x2＋y2＋z2＝3，－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0.∴x＝1，y＝1，z＝1或x＝－1，y＝－1，z＝－1.∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]5．C[∵AB→＝(1,0,0)，CD→＝(－2，－2,1)，∴cos〈AB→，CD→〉＝ABCDABCD＝－23，∴sin〈AB→，CD→〉＝53.]6．B[建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B162，22，0，C1(0，2，0)，B62，22，1.∴AB1→＝62，22，－1，C1B→＝62，－22，1，∴AB1→·C1B→＝64－24－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]7．D[若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cosβ＝n·a|n||a|，∴sinθ＝|cosβ|＝|n·a||n||a|.]8．A[AB→＝(3,4,2)，AC→＝(5,1,3)，BC→＝(2，－3,1)，AB→·AC→0，得∠A为锐角；CA→·CB→0，得∠C为锐角；BA→·BC→0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且|AB→|＝29，|AC→|＝35，|BC→|＝14.]9．A[∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]10．C[AB→＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|AB→|＝1－x2＋2x－32＋－3x＋32＝14x2－32x＋19＝14x－872＋57.故当x＝87时，|AB→|取最小值．]11．C[如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝22，EP＝22，PA＝PB＝2，可以求得BD＝144，ED＝24.∵BC→＝BD→＋DE→＋EC→，∴BC→2＝BD→2＋DE→2＋EC→2＋2BD→·DE→＋2DE→·EC→＋2EC→·BD→.∴EC→·BD→＝－14，∴cos〈BD→，EC→〉＝－77，即二面角B—AP—C的余弦值为77.]12．B[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)．AD→＝(0,0,2)，AE→＝(1,1,0)，AC→＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则即x＋y＝0；2y＋2z＝0.令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝－23＝233.]13.258解析∵a－2b＝(8，－5,13)，∴|a－2b|＝82＋－52＋132＝258.14.413解析因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，则BF→·DE→＝(BC→＋CF→)·(DA→＋AE→)＝0＋BC→·AE→＋CF→·DA→＋0＝4×1×cos120°＋1×4×cos120°＝－4，BF＝DE＝42＋12－2×4×1×cos60°＝13，所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：cosθ＝＝413.15.π3或2π3解析设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，则cos〈n1，n2〉＝1×0＋0×－1＋－1×12·2＝－12，∴〈n1，n2〉＝2π3.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为π3或2π3.16.3－2cosθ解析因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→，所以AD→2＝AB→2＋BC→2＋CD→2＋2AB→·CD→＋2AB→·BC→＋2BC→·CD→＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ.所以|AD→|＝3－2cosθ，即AD的长为3－2cosθ.17．证明以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，AB1→＝(a，b，d)，BC1→＝(c－a，－b，d)，CA1→＝(－c,0，d)，由已知AB1→·BC1→＝ca－a2－b2＋d2＝0，CA1→·BC1→＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.再由两点间距离公式可得：|AB1|2＝a2＋b2＋d2，|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，∴AB1＝CA1.18．证明因为AB→＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD→＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB→和CD→共线，即AB∥CD.又因为AD→＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC→＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD→与BC→不平行，所以四边形ABCD为梯形．19．解∵M、N分别是AC、BF的中点，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB.又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB，∴12CA→＋AF→＋12FB＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB，∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB＝2(MA→＋AF→＋FN→)＝2MN→.∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线．20．证明设CD→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，依题意，|a|＝|b|，又设CD→，CB→，CC1→中两两所成夹角为θ，于是BD→＝CD→－CB→＝a－b，CC1→·BD→＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|cosθ－|c||b|cosθ＝0，所以C1C⊥BD.21．解因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.所以cos〈OA→，BC→〉＝＝24－1628×5＝3－225.即OA与BC所成角的余弦值为3－225.22．(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E1，32，0.易得EF→＝0，12，1，A1D→＝(0,2，－4)，于是cos〈EF→，A1D→〉＝＝－35.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.(2)证明易知AF→＝(1,2,1)，EA1→＝－1，－32，4，ED→＝－1，12，0，于是AF→·EA1→＝0，AF→·ED→＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，则即12y＋z＝0，－x