高中数学人教版A版选修21配套课时作业第二章圆锥曲线与方程242Word版含答案

2.4.2抛物线的简单几何性质课时目标1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________．2．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．3．抛物线的焦点弦设抛物线y2＝2px(p0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．(1)以AB为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x1＋x2＋______.(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是()A．x2＝－92y或y2＝43xB．y2＝－92x或x2＝43yC．y2＝－92xD．x2＝43y2．若抛物线y2＝2px(p0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.924．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()A．1B．2C．3D．46．过抛物线y2＝ax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则1p＋1q等于()A．2aB.12aC．4aD.4a题号123456答案二、填空题7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．9．过抛物线x2＝2py(p0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．43B．8C．83D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．2.4.2抛物线的简单几何性质知识梳理1．(1)x≥0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)pp22．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0两一没有平行或重合一3．(1)相切(2)2(x0＋p2)(3)p(4)p24－p2作业设计1．B[由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]2．A[设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y21＝2px1，y22＝2px2，y23＝2px3，因为2y22＝y21＋y23，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－p2＋|P3F|－p2＝2|P2F|－p2，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.]3．A[如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－12的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.]4．B[y2＝ax的焦点坐标为a4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2x－a4，令x＝0得y＝－a2.∴12×|a|4×|a|2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]5．C[∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]6．D[可采用特殊值法，设PQ过焦点Fa4，0且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋a4＝a4＋a4＝a2，|QF|＝q＝a2，∴1p＋1q＝2a＋2a＝4a.]7．y2＝4x解析设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，得x＝0或x＝a，∴a2＝2.∴a＝4.∴抛物线方程为y2＝4x.8．2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2.∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．∵x1≠x2，∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1.∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝42.又F(1,0)到y＝x的距离为22，∴S△ABF＝12×22×42＝2.9.13解析抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F0，p2，则直线AB的方程为y＝33x＋p2，由x2＝2py，y＝33x＋p2，消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，解得y1＝p6，y2＝3p2.由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知|AF||FB|＝y1＋p2y2＋p2＝p6＋p23p2＋p2＝13.10．解由y＝mx2(m≠0)可化为x2＝1my，其准线方程为y＝－14m.由题意知－14m＝－2或－14m＝4，解得m＝18或m＝－116.则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.11．解方法一设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y21＝8x1，①y22＝8x2，②∵Q(4,1)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝y1－y2x1－x2，∴k＝4.∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.方法二设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.由y2＝8x，y＝kx－4＋1，消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y1＋y2＝8k，又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.12.B[如图所示，直线AF的方程为y＝－3(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,43)．设P(x0,43)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]13．解由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋p2，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±23.∴点A的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立y＝kx－1y2＝4x，消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4k24.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.